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2: Arithmétique matricielle - Mathématiques


Un sujet fondamental des mathématiques est l'arithmétique ; additionner, soustraire, multiplier et diviser des nombres. Nous sommes à l'aise avec des expressions telles que [x+3x-xcdot x^2+x^5cdot x^{-1}] et savons que nous pouvons « simplifier » cela en [4x-x^3 +x^4.]

Ce chapitre traite de l'idée de faire des opérations similaires, mais au lieu d'un nombre inconnu (x), nous utiliserons une matrice . Alors que signifie exactement l'expression [A+3A-Acdot A^2+A^5cdot A^{-1}] ? Nous allons devoir apprendre à définir ce que sont l'addition matricielle, la multiplication scalaire, la multiplication matricielle et l'inversion matricielle. Nous apprendrons exactement cela, ainsi que d'autres bonnes choses, dans ce chapitre.


Pour effectuer la matrice une addition, deux matrices doivent avoir les mêmes dimensions. Cela signifie qu'ils doivent avoir le même nombre de lignes et de colonnes. Dans ce cas, ajoutez simplement chaque composant individuel, comme ci-dessous.

[A + B = egin 1 & -5 & 4 2 & 5 & 3 fin + commencer 8 & -3 & -4 4 & -2 & 9 fin = commencer 1 + 8 & -5 - 3 & 4 - 4 2 + 4 & 5 -2 & 3 + 9 end = commencer 9 & -8 & 0 6 & 3 & 12 end]

L'addition matricielle a beaucoup des mêmes propriétés que l'addition "normale".

De plus, si l'on veut faire la transposée de la somme de deux matrices, alors


Programme C++ pour effectuer des opérations arithmétiques sur Matrix

Écrivez un programme C++ pour effectuer des opérations arithmétiques sur Matrix avec un exemple. Dans cet exemple d'opérations arithmétiques matricielles C++, nous permettons aux utilisateurs d'entrer les tailles de matrice et les éléments des matrices. Ensuite, nous avons utilisé la boucle for imbriquée C++ pour itérer la matrice de 0 aux lignes et aux colonnes. Dans la boucle for imbriquée, nous avons effectué des opérations arithmétiques telles que l'addition, la division, la soustraction, la multiplication et les modules sur les deux matrices et les avons affectées à de nouvelles matrices. Enfin, nous avons utilisé une autre boucle for imbriquée pour imprimer les éléments de la matrice.


Dans une matrice deux par deux, le cofacteur d'une entrée est calculé en multipliant les deux facteurs suivants.

  1. Le négatif élevé à la puissance de somme de le numéro de la ligne et le numéro de la colonne de l'élément correspondant.
  2. Le mineur de l'entrée respective.

Apprenons à trouver le cofacteur de chaque entrée pour l'exemple de matrice suivant.

Cofacteur d'une entrée dans la première ligne et la première colonne

$b_<11>$ est l'entrée dans la première ligne et la première colonne. Maintenant, trouvez le mineur de cet élément.

Le cofacteur de l'élément $b_<11>$ est noté $C_<11>$. Pour l'élément $b_<11>$, le numéro de la ligne est $1$ et le numéro de la colonne est $1$.

Le cofacteur de l'entrée $b_<11>$ est calculé en multipliant le mineur de cette entrée par le moins élevé à la puissance de la somme de 1$ et 1$.

Par conséquent, le cofacteur de l'élément $b_<11>$ dans la matrice $B$ est positif $b_<22>$.

Cofacteur d'une entrée dans la première ligne et la deuxième colonne

$b_<12>$ est l'entrée de la première ligne et de la deuxième colonne. Maintenant, trouvons le mineur de cet élément.

Le cofacteur de l'élément $b_<12>$ est noté $C_<12>$. Pour l'élément $b_<12>$, le numéro de la ligne est $1$ et le numéro de la colonne est $2$.

Le cofacteur de l'entrée $b_<12>$ est évalué en multipliant le mineur de cet élément par le moins élevé à la puissance de la somme de $1$ et $2$.

Par conséquent, le cofacteur de l'élément $b_<12>$ dans la matrice $B$ est négatif $b_<21>$.

Cofacteur d'une entrée dans la deuxième ligne et la première colonne

$b_<21>$ est l'entrée de la deuxième ligne et de la première colonne. Maintenant, évaluons le mineur de cette entrée.

Le cofacteur de l'élément $b_<21>$ est noté $C_<21>$. Pour l'entrée $b_<21>$, le numéro de la ligne est $2$ et le numéro de la colonne est $1$.

Le cofacteur de l'entrée $b_<21>$ est évalué en multipliant le mineur de cet élément par le moins élevé à la puissance de la somme de $2$ et $1$.

Par conséquent, le cofacteur de l'entrée $b_<21>$ dans la matrice $B$ est négatif $b_<12>$.

Cofacteur d'une entrée dans la deuxième ligne et la deuxième colonne

$b_<22>$ est l'entrée dans la deuxième ligne et la deuxième colonne. Maintenant, évaluons le mineur de cette entrée.

Le cofacteur de l'élément $b_<22>$ est représenté par $C_<22>$. Pour l'entrée $b_<22>$, le numéro de la ligne est $2$ et le numéro de la colonne est $2$.

Le cofacteur de l'entrée $b_<22>$ est calculé en multipliant le mineur de cette entrée par le moins élevé à la puissance de la somme de $2$ et $2$.

Par conséquent, le cofacteur de l'élément $b_<22>$ dans la matrice $B$ est positif $b_<11>$.

Panneaux

Une technique de signe peut être utilisée comme méthode de raccourci tout en trouvant les cofacteurs d'entrées dans une matrice $2 imes 2$.

  1. Dans la première ligne, écrivez un signe plus au-dessus du premier élément et un signe négatif au-dessus du deuxième élément.
  2. Dans la deuxième ligne, écrivez un signe moins au-dessus du premier élément et un signe positif au-dessus du deuxième élément.

Maintenant, trouvons les cofacteurs des éléments de la matrice ci-dessus.

  1. $C_ <11>,=, +M_ <11>,=, +egin b_ <22> end ,=, b_<22>$
  2. $C_ <12>,=, -M_ <12>,=, -egin b_ <21> end ,=, -b_<21>$
  3. $C_ <21>,=, -M_ <21>,=, -egin b_ <12> end ,=, -b_<12>$
  4. $C_ <22>,=, +M_ <22>,=, +egin b_ <11> end ,=, b_<11>$

N'oubliez pas qu'il est recommandé d'utiliser cette méthode de raccourci pour vérifier notre processus fondamental et également pour obtenir le résultat rapidement.

Exemple

Trouvons les cofacteurs des entrées dans la matrice $A$ de l'ordre $2$.

Le cofacteur de l'entrée cinq est positif six.

Le cofacteur de l'entrée trois est positif deux.

Le cofacteur de l'entrée moins deux est moins trois.

Le cofacteur de l'entrée six est positif cinq.

De cette façon, le cofacteur de chaque élément peut être calculé dans une matrice carrée d'ordre deux.


Si un problème est difficile, ne paniquez pas, essayez ces idées :

  • Trouvez un problème similaire. Pouvez-vous appliquer à votre propre problème?
  • Simplifiez le problème en supprimant certaines variables ou dimensions.
  • Lorsqu'une approche échoue, essayez l'inverse.
  • Rêve : fantasmes sur une situation telle que supposer que toutes les restrictions ont été supprimées.
  • Établissez des sous-objectifs : divisez le problème en plusieurs plus petits.
  • Faites la liste des hypothèses que vous avez faites pour résoudre le problème et contestez-les.
  • Essayez de résoudre la situation de la façon dont les choses sont à la façon dont vous voulez qu'elles soient.
  • Choisissez d'autres mots pour décrire le problème. Une définition alternative peut ouvrir de nouvelles possibilités.

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Trouver le déterminant d'une matrice 2 × 2

Les déterminants sont des propriétés utiles des matrices carrées, mais peuvent impliquer beaucoup de calculs. Un déterminant 2×2 est beaucoup plus facile à calculer que les déterminants de matrices plus grandes, comme les matrices 3×3. Pour trouver un déterminant 2×2, nous utilisons une formule simple qui utilise les entrées de la matrice 2×2. Les déterminants 2×2 peuvent être utilisés pour trouver l'aire d'un parallélogramme et pour déterminer l'inversibilité d'une matrice 2×2.

Si le déterminant d'une matrice est 0 alors la matrice est singulière et n'a pas d'inverse.

Déterminant d'une matrice 2×2

Avant de pouvoir trouver l'inverse d'une matrice, nous devons d'abord apprendre à obtenir le déterminant d'une matrice.

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Calculatrices arithmétiques matricielles

Les données ci-dessous sont la collection de calculatrices arithmétiques matricielles pour vous permettre d'effectuer diverses opérations arithmétiques comme la matrice - multiplication, addition, soustraction et division.

Matrice: En mathématiques, Matrix est un tableau de nombres, de symboles ou d'expressions disposés en lignes et en colonnes. Le nombre de lignes et de colonnes détermine la forme de la matrice, c'est-à-dire carré ou rectangle.

Applications de la matrice : Une application majeure des matrices est de représenter la transformation linéaire. Dans des utilisations liées à la physique, ils sont utilisés dans l'étude des circuits électriques, de la mécanique quantique et de l'optique.

Calculatrices arithmétiques matricielles : N'hésitez pas à essayer toutes les calculatrices arithmétiques données dans la section ci-dessus. La section contient une grande variété de calculatrices arithmétiques matricielles telles que la calculatrice de multiplication matricielle 3x3 et 2x2, la calculatrice d'addition matricielle 4x4 et 5x5, la calculatrice de division matricielle, etc.


Arithmétique matricielle sous NumPy et Python

  • Addition matricielle
  • Soustraction matricielle
  • Multiplication matricielle
  • Produit scalaire
  • Produit croisé
  • et plein d'autres opérations sur les matrices

Addition et soustraction de vecteurs

Beaucoup de gens connaissent l'addition et la soustraction vectorielles de la physique, pour être exact du parallélogramme des forces. C'est une méthode pour résoudre (ou visualiser) les résultats de l'application de deux forces à un objet.

L'addition de deux vecteurs, dans notre exemple (voir image) x et y, peut être représentée graphiquement en plaçant le début de la flèche y à la pointe de la flèche x, puis en dessinant une flèche à partir du début (queue) de x à la pointe (tête) de y. La nouvelle flèche dessinée représente le vecteur x + y Soustraire un vecteur revient à ajouter son négatif. Ainsi, la différence des vecteurs x et y est égale à la somme de x et -y :
x - y = x + (-y)
La soustraction de deux vecteurs peut être définie géométriquement comme suit : pour soustraire y de x, nous plaçons les extrémités de x et y au même point, puis dessinons une flèche de la pointe de y à la pointe de x. Cette flèche représente le vecteur x - y, voir l'image sur le côté droit.

Mathématiquement, nous soustrayons les composantes correspondantes du vecteur y du vecteur x.

Produit scalaire / Produit scalaire

En mathématiques, le produit scalaire est une opération algébrique qui prend deux vecteurs de coordonnées de taille égale et renvoie un seul nombre. Le résultat est calculé en multipliant les entrées correspondantes et en additionnant ces produits. Le nom « produit scalaire » vient du fait que le point centré « · » est souvent utilisé pour désigner cette opération. Le nom « produit scalaire » met l'accent sur la nature scalaire du résultat. du résultat.

Définition du produit scalaire :

Nous pouvons voir à partir de la définition du produit scalaire qu'il peut être utilisé pour calculer le cosinus de l'angle entre deux vecteurs.

Calcul du produit scalaire :

Enfin, nous voulons montrer comment calculer le produit scalaire en Python :

Classe de matrice

Les objets matriciels sont une sous-classe des tableaux numpy (ndarray). Les objets matrice héritent de tous les attributs et méthodes de ndarry. Une autre différence est que les matrices numpy sont strictement bidimensionnelles, tandis que les tableaux numpy peuvent être de n'importe quelle dimension, c'est-à-dire qu'ils sont n-dimensionnels.

L'avantage le plus important des matrices est qu'elles fournissent des notations pratiques pour la multiplication des matrices. Si X et Y sont deux matrices alors X * Y définit la multiplication matricielle. Tandis que d'un autre côté, si X et Y sont des ndarrays, X * Y définit une multiplication élément par élément.

Produit matriciel

Le produit matriciel de deux matrices peut être calculé si le nombre de colonnes de la matrice de gauche est égal au nombre de lignes de la seconde matrice ou de droite.
Le produit d'une (l x m)-matrice A = (aje)i=1. l, j= 1..m et une (m x n)-matrice B = (bje)i=1. m, j= 1..n est une matrice C = (cje)i=1. l, j= 1..n, qui se calcule ainsi :

L'image suivante l'illustre davantage :

Si nous voulons effectuer une multiplication matricielle avec deux tableaux numpy (ndarray), nous devons utiliser le produit scalaire : Alternativement, nous pouvons les convertir en objets matriciels et utiliser l'opérateur "*":

Application pratique simple pour la multiplication matricielle

Dans l'exemple pratique suivant, nous venons de parler des douceurs de la vie.
Supposons qu'il y ait quatre personnes, et nous les appelons Lucas, Mia, Leon et Hannah. Chacun d'eux a acheté des chocolats parmi un choix de trois. Les marques sont A, B et C, peu commercialisables, il faut bien l'admettre. Lucas a acheté 100 g de marque A, 175 g de marque B et 210 de C. Mia a choisi 90 g de A, 160 g de B et 150 g de C. Léon a acheté 200 g de A, 50 de B et 100 g de C Hannah n'aimait apparemment pas la marque B, car elle n'en avait acheté aucune. Mais elle semble être une vraie fan de la marque C, car elle en a acheté 310 g. De plus, elle a acheté 120 g d'A.

Alors, quel est le prix en Euro de ces chocolats : A coûte 2,98 pour 100 g, B coûte 3,90 et C seulement 1,99 Euro.

Si nous devons calculer combien chacun d'eux a dû payer, nous pouvons utiliser Python, NumPy et la multiplication matricielle :

Cela signifie que Lucas a payé 13,98 euros, Mia 11,97 euros, Leon 9,90 et Hannah 9,75.

Produit croisé

Arrêtons de consommer de délicieux chocolats et revenons à un sujet plus mathématique et moins calorique, à savoir le produit croisé.

Le produit vectoriel ou produit vectoriel est une opération binaire sur deux vecteurs dans un espace tridimensionnel. Le résultat est un vecteur perpendiculaire aux vecteurs multipliés et normal au plan qui les contient.

Le produit vectoriel de deux vecteurs a et b est noté a × b.


où n est un vecteur unitaire perpendiculaire au plan contenant a et b dans la direction donnée par la règle de la main droite.

Si l'un des vecteurs multipliés est égal à zéro ou si les vecteurs sont parallèles, leur produit vectoriel est égal à zéro. Plus généralement, la grandeur du produit est égale à l'aire d'un parallélogramme avec les vecteurs comme côtés. Si les vecteurs sont perpendiculaires, le parallélogramme est un rectangle et la grandeur du produit est le produit de leurs longueurs.


Algorithmes pour les mathématiques appliquées

Les matrices ne sont appelées ainsi que depuis 1850, lorsque le terme a été inventé par James Joseph Sylvester. Son explication de la terminologie est succincte :

J'ai défini dans des articles précédents un Matrice comme un ensemble rectangulaire de termes, à partir desquels différents systèmes de déterminants peuvent être engendrés à partir du ventre d'un parent commun.

Bien que la terminologie soit relativement récente, certaines des utilisations des matrices sont connues dans diverses parties du monde depuis le IIe siècle av. Presque toutes les premières utilisations des matrices ont le même objectif : résoudre des systèmes d'équations linéaires simultanées.

Exemple 5.3.1 Résolution d'un système d'équations linéaires par élimination

Considérons le système suivant d'équations linéaires simultanées à trois variables :

Nous pouvons résoudre ce problème par la méthode d'élimination, en utilisant des applications répétées des trois opérations suivantes :

L'ordre des équations peut être réarrangé. Si le (i^ exte) et (j^ exte) les équations sont interverties, on note l'échange par (E_i:E_j ext<.>)

Une équation peut être multipliée par une constante non nulle. Si le (i^ exte) l'équation est multipliée par la constante (k ext<,>) on note l'opération par (k,E_i ext<.>)

Un multiple non nul d'une équation peut être ajouté à une autre équation, et la somme stockée dans la position de cette dernière équation. Par exemple si l'on souhaitait multiplier le (i^ ext) équation par (k ext<,>) l'ajouter au (j^ ext) équation, et laissez cette somme à la position du (j^ ext) équation, on notera l'opération par (k,E_i+E_j ext<.>)

Comme ces opérations préservent les propriétés arithmétiques des équations, l'ensemble des solutions avant et après toute séquence de ces opérations doit être le même. Le but de la méthode d'élimination est de diagonaliser l'équation, de sorte que le coefficient de (x_j) dans la ligne (i) soit (0) pour tout (jlt i ext<.>) En partant du système d'exemple ci-dessus, nous pourrions commencez par ajouter des multiples de la première équation aux deuxième et troisième équations : (-E_1+E_2) et (6E_1+E_3 ext<.>)

Ensuite, nous pouvons utiliser un multiple de la deuxième équation pour éliminer le coefficient dominant de la troisième équation, en utilisant (11E_2+E_3 ext<.>)

Ainsi éliminé, nous pouvons utiliser la substitution arrière pour résoudre (x_3 ext<,>) (x_2 ext<,>) et (x_1) dans cet ordre :

On ne saurait trop insister sur l'importance de cette méthode : la résolution de systèmes d'équations linéaires est un problème éternel en mathématiques appliquées, souvent parce que les systèmes sous-jacents d'équations non linéaires peuvent être bien linéarisés en faisant des sacrifices acceptables. Nous remarquons qu'à aucune étape nous n'avons été obligés d'intervertir l'ordre des équations, car nous n'avons jamais rencontré de situation où le (i^ ext) la variable avait un coefficient de (0) dans le (i^ ext) ligne.

Le processus utilisé dans l'exemple précédent n'a rien à voir avec les variables utilisées - en fait, elles sont utilisées uniquement comme espaces réservés dans le calcul. En comprenant cela, nous pouvons reformuler le problème en un problème d'algèbre vectorielle et nous passer entièrement des variables.

Exemple 5.3.2 Résolution d'une équation matricielle linéaire

Considérons la matrice (A) et les vecteurs (vec) et (vec) donné par

Alors le système de l'exemple précédent est exactement équivalent à l'équation vectorielle (Avec=vec ext<.>) Afin de garder une trace des opérations effectuées à la fois à gauche et à droite du signe égal, il suffit de augmenter la matrice (A) par le vecteur (vec ext<,>) comme ceci :

Or les trois opérations de la méthode d'élimination correspondent aux opérations sur les lignes élémentaires sur une matrice augmentée, et les opérations impliquées dans l'exemple précédent correspondent à la séquence suivante d'opérations sur les lignes :

C'est un forme d'échelon de ligne pour la matrice (Avertvec ext<,>) et le processus d'obtention est appelé Élimination gaussienne, ou de manière informelle réduction de ligne. Si les lignes sont interverties ou mises à l'échelle, il peut y avoir plusieurs formes d'échelons de lignes distinctes d'une matrice. Si nous effectuons des opérations de ligne supplémentaires jusqu'à ce que l'entrée non nulle la plus à gauche dans chaque ligne soit un (1) et qu'elle soit la seule entrée non nulle dans sa colonne, alors nous avons produit une représentation unique de la matrice, appelée son forme d'échelon de rang réduit. Le processus de passage de la matrice d'origine à sa forme d'échelon de ligne réduite via des opérations de ligne est appelé Élimination de Gauss-Jordanie.

Exemple 5.3.3 Élimination de Gauss-Jordan

En continuant à partir de la fin de l'exemple précédent, voici les transformations finales de la forme d'échelon de ligne à la forme d'échelon de ligne réduit via l'élimination de Gauss-Jordan.

Il devrait être évident qu'il n'y a pas de différence de résultat entre l'élimination de Gauss-Jordan et l'élimination gaussienne régulière à la forme d'échelon de rangée suivie d'une substitution arrière. Cependant, la complexité de calcul (qui est essentiellement une mesure du nombre d'opérations effectuées par un algorithme) de Gauss-Jordan est plus haute que l'élimination et la substitution. Cela étant dit, l'élimination de Gauss-Jordan est l'un des meilleurs moyens de calculer l'inverse d'une matrice non singulière arbitraire, une tâche que nous rencontrerons plus tard dans le texte.


Voir la vidéo: équation diophantienne - résoudre 13x+9y=2 - arithmétique - spé maths - très IMPORTANT (Novembre 2021).