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7.3 : Intégrales doubles en coordonnées polaires - Mathématiques


Les intégrales doubles sont parfois beaucoup plus faciles à évaluer si nous changeons les coordonnées rectangulaires en coordonnées polaires. Cependant, avant de décrire comment effectuer ce changement, nous devons établir le concept d'une intégrale double dans une région polaire rectangulaire.

Régions d'intégration polaires rectangulaires

Lorsque nous avons défini l'intégrale double pour une fonction continue en coordonnées rectangulaires—disons, (g) sur une région (R) dans le plan (xy)—nous avons divisé (R) en sous-rectangles avec des côtés parallèle aux axes de coordonnées. Ces côtés ont soit des valeurs constantes (x) et/ou des valeurs constantes (y). En coordonnées polaires, la forme avec laquelle nous travaillons est un rectangle polaire, dont les côtés ont des valeurs (r) constantes et/ou des valeurs ( heta) constantes. Cela signifie que nous pouvons décrire un rectangle polaire comme dans la figure (PageIndex{1a}), avec (R = {(r, heta),|, a leq r leq b, , alpha leq heta leq eta}).

Dans cette section, nous cherchons à intégrer sur des rectangles polaires. Considérons une fonction (f(r, heta)) sur un rectangle polaire (R). On divise l'intervalle ([a,b]) en (m) sous-intervalles ([r_{i-1}, r_i]) de longueur (Delta r = (b - a)/m ) et diviser l'intervalle ([alpha, eta]) en (n) sous-intervalles ([ heta_{i-1}, heta_i]) de largeur (Delta heta = ( bêta - alpha)/n). Cela signifie que les cercles (r = r_i) et les rayons ( heta = heta_i) pour (1 leq i leq m) et (1 leq j leq n) divisent le pôle rectangle (R) en sous-rectangles polaires plus petits (R_ij) (Figure (PageIndex{1b})).

Comme précédemment, nous devons trouver l'aire (Delta A) du sous-rectangle polaire (R_{ij}) et le volume « polaire » de la boîte mince au-dessus de (R_{ij}). Rappelons que, dans un cercle de rayon (r) la longueur (s) d'un arc sous-tendu par un angle au centre de ( heta) radians est (s = r heta). Notez que le rectangle polaire (R_{ij}) ressemble beaucoup à un trapèze avec des côtés parallèles (r_{i-1}Delta heta) et (r_iDelta heta) et avec une largeur (Delta r). Donc l'aire du sous-rectangle polaire (R_{ij}) est

[Delta A = frac{1}{2} Delta r (r_{i-1} Delta heta + r_1 delta heta ).]

En simplifiant et en laissant (r_{ij}^* = frac{1}{2}(r_{i-1}+r_i)), on a (Delta A = r_{ij}^* Delta r Delta hêta).

Par conséquent, le volume polaire de la boîte mince au-dessus de (R_{ij}) (Figure (PageIndex{2})) est

[f(r_{ij}^*, heta_{ij}^*) bDelta A = f(r_{ij}^*, heta_{ij}^*)r_{ij}^* Delta r Delta hêta.]

En utilisant la même idée pour tous les sous-rectangles et en additionnant les volumes des boîtes rectangulaires, nous obtenons une double somme de Riemann comme

[sum_{i=1}^m sum_{j=1}^nf(r_{ij}^*, heta_{ij}^*) r_{ij}^* Delta r Delta heta. ]

Comme nous l'avons vu précédemment, nous obtenons une meilleure approximation du volume polaire du solide au-dessus de la région (R) lorsque nous laissons (m) et (n) devenir plus grands. Par conséquent, nous définissons le volume polaire comme la limite de la double somme de Riemann,

[V = lim_{m,n ightarrowinfty}sum_{i=1}^m sum_{j=1}^nf(r_{ij}^*, heta_{ij}^*) r_ {ij}^* Delta r Delta heta.]

Cela devient l'expression de l'intégrale double.

Définition : L'intégrale double en coordonnées polaires

L'intégrale double de la fonction (f(r, heta)) sur la région polaire rectangulaire (R) dans le plan (r heta) est définie comme

[egin{align} iint_R f(r, heta)dA &= lim_{m,n ightarrowinfty}sum_{i=1}^m sum_{j=1}^nf(r_ {ij}^*, heta_{ij}^*) Delta A [5pt] &= lim_{m,n ightarrow infty} sum_{i=1}^m sum_{j=1 }^nf(r_{ij}^*, heta_{ij}^*)r_{ij}^* Delta r Delta heta. end{aligner}]

Encore une fois, tout comme dans la section sur les intégrales doubles sur les régions rectangulaires, la double intégrale sur une région rectangulaire polaire peut être exprimée comme une intégrale itérée en coordonnées polaires. D'où,

[iint_R f(r, heta),dA = iint_R f(r, heta) ,r , dr , d heta = int_{ heta=alpha}^{ heta= eta} int_{r=a}^{r=b} f(r, heta) ,r , dr , d heta.]

Notez que l'expression pour (dA) est remplacée par (r , dr , d heta) lorsque vous travaillez en coordonnées polaires. Une autre façon de regarder l'intégrale double polaire est de changer l'intégrale double en coordonnées rectangulaires par substitution. Lorsque la fonction (f) est donnée en termes de (x) et (y) en utilisant (x = r , cos , heta, , y = r , sin , heta), et (dA = r , dr , d heta) le change en

[iint_R f(x,y) ,dA = iint_R f(r , cos , heta, , r , sin , heta ) ,r , dr , d thêta.]

Notez que toutes les propriétés énumérées dans la section sur les doubles intégrales sur les régions rectangulaires pour la double intégrale en coordonnées rectangulaires sont également vraies pour la double intégrale en coordonnées polaires, nous pouvons donc les utiliser sans hésitation.

Exemple (PageIndex{1A}) : Esquisse d'une région polaire rectangulaire

Esquissez la région polaire rectangulaire

[R = {(r, heta),|,1 leq r leq 3, 0 leq heta leq pi }. pas de numéro]

Solution

Comme on peut le voir sur la figure (PageIndex{3}), (r = 1) et (r = 3) sont des cercles de rayon 1 et 3 et (0 leq heta leq pi ) couvre toute la moitié supérieure du plan. La région (R) ressemble donc à une bande semi-circulaire.

Maintenant que nous avons esquissé une région polaire rectangulaire, montrons comment évaluer une intégrale double sur cette région en utilisant des coordonnées polaires.

Exemple (PageIndex{1B}) : évaluation d'une intégrale double sur une région polaire rectangulaire

Évaluer l'intégrale (displaystyle iint_R 3x , dA) sur la région (R = {(r, heta),|,1 leq r leq 2, , 0 leq heta leq pi }.)

Solution

Tout d'abord, nous esquissons une figure similaire à la figure (PageIndex{3}), mais avec un rayon extérieur (r=2)


Voir la vidéo: Calcul dune intégrale double avec séparations des variables en coordonnées polaires - MATHS SUP (Novembre 2021).