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3.1 : Identités trigonométriques de base


Jusqu'à présent, nous connaissons quelques relations entre les fonctions trigonométriques. Par exemple, on connaît les relations réciproques :

  1. (csc; heta ~=~ dfrac{1}{sin; heta} qquad ) quand (sin; heta e 0)
  2. (sec; heta ~=~ dfrac{1}{cos; heta} qquad ) quand (cos; heta e 0)
  3. (cot; heta ~=~ dfrac{1}{ an; heta} qquad ) lorsque ( an; heta ) est défini et non (0)
  4. (sin; heta ~=~ dfrac{1}{csc; heta} qquad ) lorsque (csc; heta ) est défini et non (0)
  5. (cos; heta ~=~ dfrac{1}{sec; heta} qquad ) lorsque (sec; heta ) est défini et non (0)
  6. ( an; heta ~=~ dfrac{1}{cot; heta} qquad ) lorsque (cot; heta ) est défini et non (0)

Notez que chacune de ces équations est vraie pour tous angles ( heta ) pour lesquels les deux membres de l'équation sont définis. De telles équations sont appelées identités, et dans cette section, nous aborderons plusieurs identités trigonométriques, c'est-à-dire des identités impliquant les fonctions trigonométriques. Ces identités sont souvent utilisées pour simplifier des expressions ou des équations compliquées. Par exemple, l'une des identités trigonométriques les plus utiles est la suivante :

[ an; heta ~=~ frac{sin; heta}{cos; heta} qquad ext{when } cos; heta e 0 label{3.1} ]

Pour prouver cette identité, choisissez un point ((x,y) ) du côté terminal de ( heta ) à une distance (r >0 ) de l'origine, et supposons que (cos; heta e 0 ). Alors (x e 0 ) (puisque (cos; heta = frac{x}{r})), donc par définition

[pas de numéro
frac{sin; heta}{cos; heta} ~=~ dfrac{~dfrac{y}{r}~}{~dfrac{x}{r}~} ~=~ frac{y}{x} ~=~
an; heta ~.
]

Notez comment nous avons prouvé l'identité en développant l'un de ses côtés ((frac{sin; heta}{cos; heta})) jusqu'à ce que nous obtenions une expression qui était égale à l'autre côté ( ( an; heta)). C'est probablement la technique la plus courante pour prouver des identités. Prendre des réciproques dans l'identité ci-dessus donne :

[ cot; heta ~=~ frac{cos; heta}{sin; heta} qquad ext{when } sin; heta e 0 label{3.2} ]

Nous allons maintenant dériver l'une des identités trigonométriques les plus importantes. Soit ( heta ) un angle quelconque avec un point ((x,y) ) sur son côté terminal à une distance (r>0 ) de l'origine. Par le théorème de Pythagore, (r^2 = x^2 + y^2 ) (et donc (r=sqrt{x^2 + y^2})). Par exemple, si ( heta ) est dans QIII comme dans la figure 3.1.1, alors les jambes du triangle rectangle formé par l'angle de référence ont des longueurs (|x| ) et (|y| ) ( on utilise des valeurs absolues car (x) et (y) sont négatifs dans QIII). Le même argument est valable si ( heta) est dans les autres quadrants ou sur l'un ou l'autre des axes. Ainsi,

[pas de numéro
r^2 ~=~ |{x}|^2 ~+~ |{y}|^2 ~=~ x^2 ~+~ y^2 ~,
]
donc en divisant les deux membres de l'équation par (r^2 ) (ce que nous pouvons faire puisque (r>0)) donne

[pas de numéro
frac{r^2}{r^2} ~=~ frac{x^2 ~+~ y^2}{r^2} ~=~ frac{x^2}{r^2} ~+ ~ frac{y^2}{r^2} ~=~
left(frac{x}{r} ight)^2 ~+~ left(frac{y}{r} ight)^2 ~.
]

Puisque (frac{r^2}{r^2} = 1 ), (frac{x}{r} = cos; heta ), et (frac{y}{r } = sin; heta ), nous pouvons réécrire ceci comme :

[cos^2 ; heta ~+~ sin^2 ; heta ~=~ 1 label{3.3}]

Vous pouvez considérer cela comme une sorte de variante trigonométrique du théorème de Pythagore. Notez que nous utilisons la notation (sin^2 ; heta ) pour signifier ((sin; heta)^2 ), de même pour le cosinus et les autres fonctions trigonométriques. Nous utiliserons la même notation pour d'autres puissances que (2).

De l'identité ci-dessus, nous pouvons dériver plus d'identités. Par exemple:

[ sin^2 ; heta ~=~ 1 ~-~ cos^2 ; heta label{3.4} ]
[ cos^2 ; heta ~=~ 1 ~-~ sin^2 ; heta label{3.5} ]

d'où l'on obtient (après avoir pris des racines carrées) :

[ sin; heta ~=~ pm,sqrt{1 ~-~ cos^2 ; heta}label{3.6}]
[cos; heta ~=~ pm,sqrt{1 ~-~ sin^2 ; heta}label{3.7}]

Aussi, à partir des inégalités (0 le sin^2 ; heta = 1 ~-~ cos^2 ; heta le 1 ) et (0 le cos^2 ; heta = 1 ~-~ sin^2 ; heta le 1 ), en prenant des racines carrées, on obtient les bornes suivantes sur le sinus et le cosinus :

[ -1 ~ le ~ sin; heta ~ le ~ 1 label{3.8}]
[-1 ~ le ~ cos; heta ~ le ~ 1 label{3.9}]

Les inégalités ci-dessus ne sont pas des identités (puisqu'elles ne sont pas des équations), mais elles fournissent des vérifications utiles sur les calculs. Rappelons que nous avons dérivé ces inégalités des définitions de sinus et cosinus à la section 1.4.

Dans l'équation ef{3.3}, en divisant les deux côtés de l'identité par (cos^2 ; heta ) donne

[pas de numéro
frac{cos^2 ; heta}{cos^2 ; heta} ~+~ frac{sin^2 ; heta}{cos^2 ; heta} ~=~
frac{1}{cos^2 ; heta} ~~,
]

donc puisque ( an; heta = frac{sin; heta}{cos; heta} ) et (sec; heta = frac{1}{cos ; heta} ), on obtient :

[1 ~+~ an^2 ; heta ~=~ sec^2 ; heta label{3.10}]

De même, en divisant les deux côtés de l'équation ef{3.3} par (sin^2 ; heta ) donne

[pas de numéro
frac{cos^2 ; heta}{sin^2 ; heta} ~+~ frac{sin^2 ; heta}{sin^2 ; heta} ~=~
frac{1}{sin^2 ; heta} ~~,
]

donc puisque (cot; heta = frac{cos; heta}{sin; heta} ) et (csc; heta = frac{1}{sin ; heta} ), on obtient :

[cot^2 ; heta ~+~ 1 ~=~ csc^2 ; heta label{3.11}]

Exemple 3.1

Simplifiez (;cos^2 ; heta ~ an^2 ; heta; ).

Solution

Nous pouvons utiliser l'équation ef{3.5} pour simplifier :

[ onumber egin{align*}
cos^2 ; heta~ an^2 ; heta ~ &= ~ cos^2 ; heta ~cdot~
frac{sin^2 ; heta}{cos^2 ; heta} onumber
&= ~ sin^2 ; heta
end{align*}]

Exemple 3.2

Simplifier (;5sin^2 ; heta ~+~ 4cos^2 ; heta; ).

Solution

Nous pouvons utiliser l'équation ef{3.1} pour simplifier :
[ onumber egin{align*}
5sin^2 ; heta ~+~ 4cos^2 ; heta ~ &= ~ 5sin^2 ; heta ~+~
4left( 1 ~-~ sin^2 ; heta ight) onumber
&= ~ 5sin^2 ; heta ~+~ 4 ~-~ 4sin^2 ; heta onumber
&= ~ sin^2 ; heta ~+~ 4
end{align*}]

Exemple 3.3

Prouver que (; an ; heta ~+~ cot ; heta ~=~ sec ; heta ~ csc ; heta; ).

Solution

Nous allons développer le côté gauche et montrer qu'il est égal au côté droit :

[ onumber egin{alignat*}{3}
an ; heta + cot ; heta ~ &= ~ frac{sin; heta}{cos; heta} ~+~
frac{cos; heta}{sin; heta} &{} qquad & ext{(par ef{3.1} et
ef{3.2})} onuméro
&= ~ frac{sin; heta}{cos; heta} ;cdot; frac{sin; heta}{sin; heta} ~+~
frac{cos; heta}{sin; heta} ;cdot; frac{cos; heta}{cos; heta}
&{} qquad & ext{(multipliez les deux fractions par (1))} onumber
&= ~ frac{sin^2 ; heta ~+~ cos^2 ; heta}{cos; heta ~ sin; heta} &{} qquad
& ext{(après avoir obtenu un dénominateur commun)} onumber
&= ~ frac{1}{cos; heta ~ sin; heta} &{} qquad & ext{(by ef{3.3})} onumber
&= ~ frac{1}{cos; heta} ~cdot~ frac{1}{sin; heta} onumber
&= ~ sec ; heta ~ csc ; heta
end{aligner*}]

Dans l'exemple ci-dessus, comment avons-nous su étendre le côté gauche au lieu du côté droit ? En général, bien que cette technique ne fonctionne pas toujours, le côté le plus compliqué de l'identité est susceptible d'être plus facile à développer. La raison en est que, par sa complexité, il y aura plus de choses que vous pourrez faire avec cette expression. Par exemple, si on vous demandait de prouver que

[pas de numéro
sec; heta ~-~ sin; heta ~ an; heta ~=~ cos; heta ~,
]

il n'y aurait pas grand-chose à faire avec le côté droit de cette identité ; il consiste en un seul terme ((cos; heta)) qui n'offre aucun moyen évident d'expansion.

Exemple 3.4

Prouver que (;dfrac{1 ~+~ cot^2 ; heta}{sec; heta} ~=~ csc; heta ~ cot; heta; ) .

Solution

Des deux côtés, le côté gauche semble plus compliqué, nous allons donc développer cela :

[ onumber egin{alignat*}{3}
frac{1 ~+~ cot^2 ; heta}{sec; heta} ~ &= ~ frac{csc^2 ; heta}{sec; heta}
&{} qquad & ext{(par ef{3.11})} onumber
&= ~ dfrac{csc; heta ~cdot~ dfrac{1}{sin; heta}}{dfrac{1}{cos; heta}} &{}
&{}[2mm] onuméro
&= ~ csc; heta ~cdot~ frac{cos; heta}{sin; heta} &{} &{} onumber
&= ~ csc ; heta ~ cot ; heta &{} qquad & ext{(by ef{3.2})}
end{aligner*}]

Lorsque vous essayez de prouver une identité où au moins un côté est un rapport d'expressions, multiplication croisée peut être une technique efficace :

[pas de numéro
frac{a}{b} ~=~ frac{c}{d} quad ext{si et seulement si}quad ad ~=~ bc
]

Exemple 3.6

Démontrer que (;dfrac{1 ~+~ sin; heta}{cos; heta} ~=~ dfrac{cos; heta}{1 ~-~ sin; heta}; ).

Solution

Multipliez et réduisez les deux côtés jusqu'à ce qu'il soit clair qu'ils sont égaux :

[ onumber egin{align*}
( 1 ~+~ sin; heta ) ( 1 ~-~ sin; heta ) ~ &= ~ cos; heta ~cdot~ cos; heta onumber
1 ~-~ sin^2 ; heta ~ &= ~ cos^2 ; heta
end{align*}]

Par ef{3.5} les deux membres de la dernière équation sont bien égaux. Ainsi, l'identité d'origine tient.

Exemple 3.7

Supposons que (;a,cos; heta = b; ) et (;c,sin; heta = d; ) pour un certain angle ( heta ) et quelques constantes (a ), (b ), (c ) et (d ). Montrez que (;a^2 c^2 = b^2 c^2 + a^2 d^2 ).

Solution

Multipliez les deux membres de la première équation par (c ) et la deuxième équation par (a):
[ onumber egin{align*}
ac,cos; heta ~ &= ~ bc onumber
ac,sin; heta ~ &= ~ annonce
end{align*}]

Maintenant, mettez au carré chacune des équations ci-dessus, puis additionnez-les pour obtenir :

[ onumber egin{align*}
(ac,cos; heta)^2 ~+~ (ac,sin; heta)^2 ~ &= ~ (bc)^2 ~+~ (ad)^2 onumber
(ac)^2 left( cos^2 ; heta ~+~ sin^2 ; heta ight)~ &= ~ b^2 c^2 ~+~ a^2 d^2 pas de numéro
a^2 c^2 ~ &= ~ b^2 c^2 ~+~ a^2 d^2 qquad ext{(by ef{3.3})}
end{align*}]

Remarquez comment ( heta ) n'apparaît pas dans notre résultat final. L'astuce consistait à obtenir un coefficient commun ((ac)) pour (;cos; heta; ) et (;sin; heta; ) afin que nous puissions utiliser (;cos^2 ; heta + sin^2 ; heta = 1 ). Il s'agit d'une technique courante pour éliminer les fonctions trigonométriques des systèmes d'équations.


On vous donne les informations suivantes sur heta

Que sont (cos heta) et ( an heta ) ?

Identités trigonométriques

Vous pouvez utiliser les identités pythagoricienne, tangente et réciproque pour trouver les six valeurs trigonométriques pour certains angles. Examinons quelques problèmes afin que vous compreniez comment procéder.

Résolvons les problèmes suivants en utilisant des identités trigonométriques.

Utilisez l'identité pythagoricienne pour trouver sin heta .

Parce que ( heta) est dans le premier quadrant, nous savons que le sinus sera positif. (sin heta =dfrac <4>

Utilisez l'identité tangente pour trouver ( an heta).

Pour trouver la sécante, la cosécante et la cotangente, utilisez les identités réciproques.

Auparavant, on vous demandait de trouver (cos heta) et ( an heta) de (sin heta =dfrac<2><3>), (dfrac<2>< heta <pi ).

Tout d'abord, utilisez l'identité pythagoricienne pour trouver (cos heta).

Cependant, étant donné que ( heta) est limité au deuxième quadrant, le cosinus doit être négatif. Par conséquent, (cos heta =&minusdfrac><3>).

Utilisez maintenant l'identité tangente pour trouver tan heta .

Trouvez les valeurs des cinq autres fonctions trigonométriques.

Premièrement, nous savons que heta est dans le deuxième quadrant, ce qui rend le sinus positif et le cosinus négatif. Pour ce problème, nous utiliserons l'identité pythagoricienne (1+ an^2 heta =sec^2 heta) pour trouver la sécante.

Si (sec heta =&minusdfrac<13><12>), alors (cos heta =&minusdfrac<12><13>). (sin heta =dfrac<5><13>) car la valeur du numérateur de la tangente est le sinus et elle a la même valeur de dénominateur que le cosinus. (csc heta =dfrac<13><5>) et (cot heta =&minusdfrac<12><5>) des Identités Réciproques.

heta est dans le troisième quadrant, donc le sinus et le cosinus sont négatifs. La réciproque de (csc heta =&minus8), nous donnera (sin heta =&minusdfrac<1><8>). Maintenant, utilisez l'identité pythagoricienne (sin^2 heta +cos^2 heta =1) pour trouver le cosinus.


Exercice 6.1 : Identités trigonométriques


(ii)


6. Prouvez les identités suivantes.



7. (i) Si sin + cos θ = √3, alors prouver que tan θ + cot θ = 1.

(ii) Si √3sinθ − cosθ = 0, alors montrer que tan 3θ = (3 tan θ − tan 3 θ) / ( 1 − 3 tan 2 θ)


8. (i) Si , puis prouver que ( m 2 + m 2 ) car 2 β = m 2

(ii) Si lit bébé θ + bronzage θ = x et sec θ − cos θ = y , puis prouver que (X 2 oui) 2/3 – (xy 2 ) 2/3 = 1


9. (i) Si sin + cos θ = p et sec θ + cosec θ = q , alors prouver que q ( p 2 − 1) = 2p

(ii) Si sin θ(1 + sin 2 θ) = cos 2 θ , alors prouver que cos 6 θ − 4 cos 4 θ + 8 cos 2 θ = 4


Identités trigonométriques

Si θ est un angle quelconque, alors − , 90 ± , 180 ± , 270 ± , 360 ± etc. sont appelés angles alliés.

  • sin (− θ) = − sin θ cos (− θ) = cos θ
  • sin (90°- ) = cos θ cos (90° − θ) = sin θ
  • sin (90°+ θ) = cos θ cos (90°+ θ) = − sin θ
  • sin (180°− θ) = sin θ cos (180°− θ) = − cos θ
  • sin (180°+ θ) = − sin θ cos (180°+ θ) = − cos θ
  • sin (270°− θ) = − cos θ cos (270°− θ) = − sin θ
  • sin (270°+ θ) = − cos θ cos (270°+ θ) = sin θ

Fonctions trigonométriques de somme ou de différence de deux angles | Trigonométrie

  • sin (A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB
  • cos (A ± B) = cosA cosB sinA sinB
  • sin²A − sin²B = cos²B − cos²A = sin (A+B) . péché (A−B)
  • cos²A − sin²B = cos²B − sin²A = cos (A+B) . cos (A − B)
  • ( an (mathrm pm mathrm)=frac < an mathrmpm an mathrm><1 mp an mathrm an mathrm>[/latexl]
  • [latex]cot (mathrm pm mathrm)=frac mp 1>pm cot mathrm>)

Factorisation de la somme ou de la différence de deux sinus ou cosinus | Identités trigonométriques

  • (sin C+sin D=2 sin frac<2>cos frac<2>)
  • (sin C-sin D=2 cos frac<2>sin frac<2>)
  • (cos C+cos D=2 cos frac<2>cos frac<2>)
  • (cos C-cos D=-2 sin frac<2>sin frac<2>)

Transformation de produits en somme ou différence de sinus et cosinus | Identités trigonométriques

  • 2 sinA cosB = sin(A+B) + sin(A−B)
  • 2 cosA sinB = sin(A+B) − sin(A−B)
  • 2 cosA cosB = cos(A+B) + cos(A−B)
  • 2 sinA sinB = cos(A−B) − cos(A+B)

Angles multiples et demi-angles | Identités trigonométriques

  • sin 2A = 2 sinA cosA (sin heta=2 sin frac< heta><2>cos frac< heta><2>)
  • cos2A = cos²A − sin²A = 2cos²A − 1 = 1 − 2 sin²A
    (cos heta=cos ^ <2>frac< heta><2>-sin ^ <2>frac< heta><2>=2 cos ^ <2>frac< thêta><2>-1=1-2 sin ^ <2>frac< hêta><2>)
    2 cos²A = 1 + cos 2A , 2sin²A = 1 − cos 2A ( an ^ <2>A=frac<1-cos 2 A><1+cos 2 A>)
    (2 cos ^ <2>frac< heta><2>=1+cos heta, 2 sin ^ <2>frac< heta><2>=1-cos heta )
  • ( an 2 mathrm=frac<2 an mathrm><1- an ^<2>mathrm> quad quad an heta=frac<2 an ( heta / 2) ><1- an ^<2>( heta / 2)>)
  • (sin 2 A=frac<2 an A><1+ an ^<2>A>, quad cos 2 A=frac <1- an ^<2>A><1+ an ^<2>A>)
  • sin 3A = 3 sinA − 4 sin 3 A
  • cos 3A = 4 cos 3 A − 3 cosA
  • ( an 3 A=frac <3 an A- an ^<3>A><1-3 an ^<2>A>)

Trois angles | Identités trigonométriques

  • A+B+C = π alors tanA + tanB + tanC = tanA tanB tanC
  • A+B+C = (frac <2>) alors tanA tanB + tanB tanC + tanC tanA = 1
  • sin2A + sin2B + sin2C = 4 sinA sinB sinC
  • sinA + sinB + sinC = 4 cos(frac <2>) cos(frac <2>) cos(frac <2>)

Valeurs maximales et minimales des fonctions trigonométriques

  • Min. valeur de a 2 tan 2 θ + b 2 cot 2 θ = 2ab où θ ∈ R
  • Max. et Min. valeur de acosθ + bsinθ sont (sqrt+b^<2>> ext < et >-sqrt+b^<2>>)
  • Si f(θ) = acos(α + θ) + bcos(β + θ) où a, b, α et β sont des quantités connues alors –
    (sqrt+b^<2>+2 a b cos (alpha-eta)> leq f( heta) leq sqrt+b^<2>+2 a b cos (alpha-eta)>)
  • Si α,β ∈ (0, (frac <2>)) et α + β = σ (constante) alors les valeurs maximales de l'expression cosα cosβ, cosα + cosβ, sinα + sinβ et sinα sinβ se produit lorsque α = β = σ/2.
  • Si α,β ∈ (0, (frac <2>)) et α + β = σ(constante) alors les valeurs minimales de l'expression secα + secβ, tanα + tanβ, cosecα + cosecβ apparaissent lorsque = β = /2.
  • Si A, B, C sont les angles d'un triangle alors la valeur maximale de sinA + sinB + sinC et sinA sinB sinC se produit lorsque A = B = C = 600
  • Dans le cas où un quadratique en sinθ ou cosθ est donné, les valeurs maximales ou minimales peuvent être interprétées en faisant un carré parfait.

Somme des sinus ou cosinus de n angles,

(commencer eta)=frac<2>><2>> sin left(alpha+frac <2>eta ight)> eta)=frac<2>><2>>> cos left(alpha+frac <2>eta ight)>end)


Mathématiques Mathématiques pré-calcul au Nebraska

Dans cette section, nous allons introduire le concept d'identités trigonométriques et travailler avec plusieurs identités pour prouver qu'elles sont vraies.

Sous-section Identités trigonométriques

A est une équation trigonométrique qui est vraie pour chaque valeur possible de la variable d'entrée sur laquelle elle est définie.

Les identités sont généralement quelque chose qui peut être dérivé de définitions et de relations que nous connaissons déjà. Une identité que nous connaissons déjà est la , que nous avons dérivée des définitions du sinus et du cosinus. Rappelez-vous que l'identité pythagoricienne indique que pour n'importe quel angle ( heta ext<,>)

Dans certains cas, nous pouvons utiliser des identités trigonométriques pour simplifier une expression. Pour ce faire, nous pouvons utiliser les définitions et les identités que nous avons déjà établies.

Exemple 96

Simplifier l'expression (displaystyle frac< an( heta)> ext<.>)

On commence par écrire sécante et tangente en termes de sinus et cosinus. Cela donne

Parfois, une question peut vous demander de « prouver l'identité » ou « d'établir l'identité ». C'est la même idée que lorsqu'on vous demande de montrer que ((x-1)^2 = x^2-2x+1 ext<.>) Dans ce type de question, il faut montrer les manipulations algébriques qui démontrer que les côtés gauche et droit de l'équation sont en fait égaux. Vous pouvez considérer un problème de « prouver l'identité » comme un problème de simplification dans lequel vous savoir la réponse: vous savez quel doit être l'objectif final de la simplification et il vous suffit de montrer les étapes pour y arriver.

Dans la plupart des cas, pour prouver une identité, vous commencerez par l'expression d'un côté de l'identité et la manipulerez en utilisant l'algèbre et les identités trigonométriques jusqu'à ce que vous l'ayez simplifiée en l'expression de l'autre côté de l'équation. Notez que nous traitons l'identité comme une équation à résoudre - ce n'est pas le cas ! Au lieu de cela, nous essayons de prouver si les deux expressions sont égales, nous devons donc veiller à travailler avec un côté à la fois plutôt que d'appliquer une opération simultanément aux deux côtés de l'équation.

Exemple 97

Prouver l'identité (displaystyle frac<1+cot( heta)> = sin( heta) + cos( heta) ext<.>)

Nous commençons par le côté gauche de l'identité souhaitée et essayons de le manipuler pour qu'il ressemble au côté droit. En écrivant cotangente et cosécante en termes de sinus et cosinus, on a

Nous pouvons également utiliser des identités que nous avons apprises précédemment, comme l'identité pythagoricienne, tout en simplifiant ou en prouvant des identités.

Exemple 98

Établir l'identité (displaystyle frac <1+sin( heta)>= 1-sin( heta) ext<.>)

Pour établir cette identité, manipulons les deux côtés de l'identité donnée jusqu'à ce que nous trouvions une identité que nous savons être vraie. Commencer avec

Multiplions les deux côtés par (1+sin( heta) ext<,>) ce qui donne

Ensuite, on multiplie le membre de droite, ce qui donne

En annulant les termes similaires sur le côté droit, nous avons

Nous savons que la dernière ligne est vraie en raison de l'identité pythagoricienne, (cos^2( heta)+sin^2( heta)=1 ext<.>) Par conséquent, l'identité initiale doit également être vrai.

Nous pouvons également construire de nouvelles identités à partir d'identités déjà établies. Par exemple, nous pouvons trouver une autre identité si nous divisons les deux côtés de l'identité pythagoricienne par le cosinus au carré (ce qui est autorisé puisque nous avons déjà montré que l'identité est vraie).

Exercice 99

Utilisez une approche similaire pour établir que (cot^2( heta)+1=csc^2( heta) ext<.>)

Formes alternatives de l'identité pythagoricienne

Sous-section Résolution d'équations trigonométriques avec des identités

Dans le dernier chapitre, nous avons résolu les équations trigonométriques de base. En utilisant les identités, nous pouvons maintenant explorer différentes techniques pour résoudre des équations trigonométriques plus compliquées. Construire à partir de ce que nous savons déjà rend cette tâche beaucoup plus facile.

Considérons la fonction (f(x) = 2x^2+x ext<.>) Si on vous demandait de résoudre (f(x) = 0 ext<,>) vous pourriez utiliser l'algèbre pour arriver à deux solution.

Tout d'abord, nous définissons ( 2x^2+x = 0 ) et le facteur, ce qui nous donne

Maintenant, puisque les termes ( x ) et ( 2x+1 ) se multiplient ensemble pour égaler 0, nous savons que soit ( x=0 ) soit ( 2x+1=0 ext<.>) On obtient donc les deux solutions

En suivant les mêmes étapes, nous pouvons résoudre l'équation (f( heta) = 0) où (f( heta) = 2sin^2( heta) + sin( heta) ext<. >) Nous obtenons que

Comme précédemment, nous avons deux termes qui se multiplient pour obtenir 0. Par conséquent, nous savons que soit

Nous devons maintenant résoudre chacune de ces équations pour obtenir un ensemble complet de solutions.

La résolution de l'équation ( sin( heta) = 0 ) nous donne les solutions (. -pi,0,pi,2pi. ) qui peuvent être représentées comme l'ensemble de solutions

En résolvant l'équation ( 2sin( heta) + 1 = 0 ) on obtient (displaystyle sin( heta) = -frac<1> <2> ext<,>) ce qui donne nous l'ensemble de solutions

Par conséquent, les solutions de l'équation originale ( 2sin^2( heta) + sin( heta) = 0 ) sont

Exemple 100

Résoudre ( 3sec^2( heta) - 5sec( heta) = 2 ) pour toutes les solutions avec (0 leq heta lt 2pi ext<.>)

Considérez la fonction (f(x)=3x^2-5x ext<.>) Si on vous demandait de trouver toutes les solutions à (f(x)=2 ext<,>) vous pourriez utiliser l'algèbre pour arriver à deux solutions :

On obtient donc les deux solutions

En suivant ces étapes comme ci-dessus avec (sec( heta)) au lieu de (x ext<,>) nous savons que soit

Il n'y a pas de solutions à l'équation (cos( heta)=-3 ext<.>) Résolution de l'équation (cos( heta)=frac<1><2> ext<,> ) nous obtenons deux ensembles de solutions. Première,

L'autre solution définie pour (cos( heta)=frac<1><2>) a l'angle de base (-arccosleft(frac<1><2> ight) ext<, >) ce qui donne

Enfin, nous devons déterminer quelles solutions se situent dans l'intervalle (0le hetale 2pi ext<.>) Cela se produit pour (k=0) dans le premier ensemble de solutions et pour ( k=1) dans le deuxième ensemble de solutions. Par conséquent, les solutions de l'équation originale (3sec^2( heta) - 5sec( heta) = 2) dans l'intervalle ([0,2pi]) sont

Exercice 101

Résoudre ( 2sin^2( heta)+3sin( heta) = -1 ) pour toutes les solutions avec (0 leq heta lt 2pi ext<.>)


Instructions: Utilisez vos connaissances sur les identités trigonométriques pour répondre aux questions suivantes. Vérifiez ensuite vos réponses dans la section suivante.

Le triangle XYZ ci-dessus est un triangle de 30-60-90 degrés.

L'angle X mesure 60 degrés.

Le côté XY est une unité de longueur.

Le côté YZ mesure a&radic 3 unités de longueur.

Le côté XZ a une longueur de 2a unités.

Question 1: La cosécante de l'angle X est 2/&radic 3 . Quel est le sinus ?

Question 2: La sécante de l'angle X est 2 . Quel est le cosinus ?

Question 3: La cotangente de l'angle X est 1/&radic 3 . Quelle est la tangente ?

Question 4: Si tan 2 X = 3, qu'est-ce que sec 2 ?

Question 5 : Démontrer que sin X × csc X = 1

Identités de déclenchement – Réponses

Ainsi, si la cosécante de l'angle X est 2/&radic 3 , le sinus est &radic 3 /2.

Donc, si la sécante de l'angle X est 2, le cosinus est 1/2.

Donc, si la cotangente de l'angle X est 1/&radic 3 , la tangente est &radic 3 .

Si tan 2 X = 3, qu'est-ce que sec 2 ?

Démontrer que sin X × csc X = 1

Ici, nous avons un triangle de 30-60-90 degrés et les longueurs relatives des côtés sont fournies dans les faits du problème.

Le sinus de X est donc &radic 3 /2 et la cosécante est 2/&radic 3 .

Identités de déclenchement – Abréviations

Les abréviations suivantes sont couramment utilisées lors des discussions sur les identités trigonométriques :

  • péché = sinus
  • cos = cosinus
  • bronzage = tangente
  • csc = cosécante
  • sec = sécante
  • cot = cotangente

L'abréviation peut également être utilisée avec l'identité de l'angle auquel elle se rapporte, tel que csc ou cot λ.

Identités réciproques – définies

La sécante est l'inverse du cosinus.

La cosécante est l'inverse du sinus.

La cotangente est l'inverse de la tangente.

Nous pouvons exprimer ces identités sous forme de fractions contenant 1 au numérateur, comme indiqué ci-dessous :


Problèmes résolus

Cliquez ou appuyez sur un problème pour voir la solution.

Exemple 1

Exemple 2

Exemple 3

Exemple 4

Exemple 5

Exemple 6

Exemple 7

Exemple 8

Exemple 9

Exemple 10

Exemple 11

Exemple 12

Exemple 1.

En utilisant l'identité (alpha + alpha = 1,) nous calculons la fonction cosinus :

La fonction tangente est le rapport du sinus et du cosinus :

La cotangente est l'inverse de la tangente :

La sécante et la cosécante sont les réciproques du cosinus et du sinus, respectivement :

Exemple 2.

Par définition, (sec alpha = large<>> ormalsize.) Par conséquent,

En utilisant l'identité (alpha + alpha = 1,) on trouve (sin alpha:)

La fonction tangente peut être exprimée en termes de sinus et cosinus :

La cotangente est l'inverse de la tangente :

Enfin, on calcule la valeur de la cosécante :

Exemple 3.

Exemple 4.

On note cette expression par (A.)

En utilisant l'identité (1 + < an ^2>alpha = alpha ,) nous avons

Par définition, (alpha = large<<<^2>alpha >>> ormalsize.) Par conséquent,

Exemple 5.

Exemple 6.

Nous utilisons les identités pythagoriciennes

Ensuite, nous écrivons l'identité initiale sous la forme

Exemple 7.

Puisque ( an alpha) est une quantité finie, alors (cos alpha e 0.) On peut donc diviser le numérateur et le dénominateur de l'expression par (cos alpha:)

Exemple 8.

En mettant au carré les deux membres de l'équation ( an alpha + cot alpha = n,) on obtient

Exemple 9.

En utilisant le théorème de Pythagore, on trouve d'abord la longueur de l'autre jambe (b), adjacente à (alpha:)

Le sinus et le cosinus de l'angle (alpha) sont donnés par

Déterminer la tangente et la cotangente de (alpha:)

Calculer les valeurs de la sécante et de la cosécante :

Exemple 10.

On factorise la somme de deux cubes :

Puisque (alpha + alpha = 1,) nous représentons la dernière expression sous la forme

Maintenant, pour trouver le produit (sin alpha cos alpha,) nous élevons les deux côtés de l'équation (sin alpha + cos alpha = k:)

Exemple 11.

Nous cadrons les deux côtés de l'identité trigonométrique de Pythagore :

On trouve maintenant (sin alpha cos alpha.) Par condition, (sin alpha + cos alpha = m.) Donc,

Exemple 12.

En utilisant l'identité (alpha + alpha = 1,) nous avons

Étant donné la fonction tangente, trouvez le cosinus au carré :

[<< an ^2>alpha + 1 = alpha ,> Rightarrow <alpha = frac<1><<< ^2>alpha >> = 3 + 1 = 4,> Rightarrow <alpha = frac<1><4>.>]


Identités trigonométriques de base

Les identités trigonométriques sont des équations impliquant les fonctions trigonométriques qui sont vraies pour chaque valeur des variables impliquées.

Certaines des identités trigonométriques les plus couramment utilisées sont dérivées du théorème de Pythagore, comme les suivantes :

sin 2 ( x ) + cos 2 ( x ) = 1 1 + tan 2 ( x ) = sec 2 ( x ) 1 + cot 2 ( x ) = csc 2 ( x )

Simplifiez l'expression à l'aide d'identités trigonométriques.

En utilisant l'identité pythagoricienne fondamentale, nous obtenons

Les identités réciproques

sin ( x ) = 1 csc ( x ) cos ( x ) = 1 sec ( x ) tan ( x ) = 1 cot ( x ) csc ( x ) = 1 sin ( x ) sec ( x ) = 1 cos ( x ) lit bébé ( x ) = 1 tan ( x )

Montrez que sec 2 ( &theta ) + csc 2 ( &theta ) = sec 2 ( &theta ) &sdot csc 2 ( &theta ) .

Les identités de quotient

tan (u) = sin (u) cos (u) cot (u) = cos (u) sin (u)

Vérifier l'identité, cos ( &theta ) + sin ( &theta ) tan ( &theta ) = sec ( &theta )

Considérez l'expression sur le côté gauche de l'équation.

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Points à retenir

1. sin 2 est la notation couramment utilisée pour (sin θ) 2 , de même pour d'autres rapports trigonométriques.

2.  sec 2 θ  - tan 2 θ   =   1 n'a pas de sens quand  θ  =  90 ° .  Mais c'est quand même une identité et vrai pour toutes les valeurs de pour lesquelles sec θ et tan θ sont définis. Ainsi, une identité est une équation qui est vraie pour toutes les valeurs de ses valeurs de domaine.

on comprend que l'expression est valable pour toutes les valeurs de θ  pour lesquelles (1 + cos θ)   ≠  0


Exemples

Sin(x) cos(x)

commencer int_a^b sin cdot cos &= int_a^b frac <>- e^<-ix>> <2i>cdot frac <>+ e^<-ix>> <2>D onumber &= frac<1> <2>cdot int_a^b frac cancel <-1>cancel <+1>- e^<-i2x>> <2i>D onumber &= frac<1> <2>cdot int_a^b sin D onumber [2ex] &= left. - frac < cos< left( 2x ight) >> <4> ight|_a^b end

Péché 3 (x) cos(x)

commencer int_a^b & sin^3 cdot cos = int_a^b left( frac <>- e^<-ix>> <2i> ight)^3 cdot frac <>+ e^<-ix>> <2>D onumber &= - frac<1> <16i>cdot int_a^b left( e^ - 3e^ + 3e^ <-ix>+ e^ <-i3x> ight) cdot left( e^ + e^ <-ix> ight) D onumber &= -frac<1> <16i>cdot int_a^b e^ - 3e^ annuler <+3>- e^ <-i2x>+ e^ - 3 + 3 e^ <-i2x>- e^ <-i4x>D onumber &= -frac<1> <8>cdot int_a^b underbrace < frac< e^- e^ <-i4x>> <2i>>_> - 2 cdot underbrace < frac< e^- e^ <-i2x>> <2i>>_> D onumber &= frac<1> <8>cdot int_a^b 2 cdot sin - sin D onumber [2ex] &= left. frac<1> <8>cdot left[ - cos <(2x)>+ frac> <4> ight] ight|_a^b end

Sin(x) cos 2 (x)

commencer int_a^b & sin cdot cos^2 = int_a^b frac < e^- e^ <-ix>> <2i>cdot left( frac < e^+ e^ <-ix>> <2> ight)^2 D onumber &= frac<1> <8i>cdot int_a^b left( e^ - e^ <-ix> ight) cdot left( e^ + 2 + e^ <-i2x> ight) D onumber &= frac<1> <8i>cdot int_a^b e^ + 2 e^ + e^ <-ix>- e^ - 2 e^ <-ix>- e^ <-i3x>D onumber &= frac<1> <4>cdot int_a^b underbrace < frac<>- e^ <-i3x>> <2i>>_> + underbrace < frac< e^- e^ <-ix>> <2i>>_> D onumber &= frac<1> <4>cdot int_a^b sin + sin onumber [2ex] &= left. - frac<1> <4>cdot left[ frac < cos<(3x)>> <3>+ cos ight] ight|_a^b end


Voir la vidéo: Siniyhtälöt: sin5x + sin-160 = 0 (Novembre 2021).