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7.3 : Identités à double angle


Deux cas particuliers d'identités de somme d'angles surviennent assez souvent pour que nous choisissions d'énoncer ces identités séparément.

IDENTITÉS

Les identités à double angle

[sin (2alpha )=2sin (alpha )cos (alpha )]

[egin{array}{ccc} {cos (2alpha )} & {=} & {cos ^{2} (alpha )-sin ^{2} (alpha )} { } & {=} & {1-2sin ^{2} (alpha )} {} & {=} & {2cos ^{2} (alpha )-1} end{array} ]

Ces identités découlent de la somme des identités d'angles.

Preuve de l'identité sinus double angle

[sin (2alpha ) onumber]
[=sin (alpha +alpha ) onumber]Appliquer la somme des angles identité
[=sin (alpha )cos (alpha )+cos (alpha )sin (alpha ) onumber]Simplifier
[=2sin (alpha )cos (alpha ) onumber]Établir l'identité

Exercice (PageIndex{1})

Montrez (cos (2alpha )=cos ^{2} (alpha )-sin ^{2} (alpha )) en utilisant la somme des angles identiques pour le cosinus.

Réponse

[egin{array}{l} {cos left(2alpha ight)=cos (alpha +alpha )} {cos (alpha )cos (alpha )- sin (alpha )sin (alpha )} {cos ^{2} (alpha )-sin ^{2} (alpha )} end{array} onumber]

Pour l'identité de l'angle double cosinus, il existe trois formes de l'identité indiquée car la forme de base, (cos (2alpha )=cos ^{2} (alpha )-sin ^{2} (alpha )), peut être réécrit en utilisant l'identité pythagoricienne. Réorganiser l'identité pythagoricienne donne l'égalité (cos ^{2} (alpha )=1-sin ^{2} (alpha )), et en substituant ceci dans l'identité de base à double angle, nous obtenons le deuxième forme de l'identité à double angle.

[cos (2alpha )=cos ^{2} (alpha )-sin ^{2} (alpha ) onumber]Substitution utilisant l'identité pythagoricienne
[cos (2alpha )=1-sin ^{2} (alpha )-sin ^{2} (alpha ) onumber]Simplifier
[cos (2alpha )=1-2sin ^{2} (alpha ) onumber]

Exemple (PageIndex{1})

Si (sin ( heta )=dfrac{3}{5}) et ( heta) est dans le deuxième quadrant, trouvez les valeurs exactes pour (sin (2 heta )) et (cos (2 heta )).

Solution

Pour évaluer (cos (2 heta )), puisque nous connaissons la valeur de (sin ( heta )), nous pouvons utiliser la version du double angle qui n'implique que le sinus.

[cos (2 heta )=1-2sin ^{2} ( heta )=1-2left(dfrac{3}{5} ight)^{2} =1-dfrac {18}{25} =dfrac{7}{25} onumber]

Étant donné que le double angle du sinus implique à la fois le sinus et le cosinus, nous devons d'abord trouver (cos ( heta )), ce que nous pouvons faire en utilisant l'identité pythagoricienne.

[sin ^{2} ( heta )+cos ^{2} ( heta )=1 onumber]
[left(dfrac{3}{5} ight)^{2} +cos ^{2} ( heta )=1 onumber]
[cos ^{2} ( heta )=1-dfrac{9}{25} onumber]
[cos ( heta )=pm sqrt{dfrac{16}{25} } =pm dfrac{4}{5} onumber]

Depuis ( hêta) est dans le deuxième quadrant, nous savons que cos( ( hêta)) (mathrm{<}) 0, donc

[cos ( heta )=-dfrac{4}{5} onumber]

Maintenant, nous pouvons évaluer le double angle sinus

[sin (2 heta )=2sin ( heta )cos ( heta )=2left(dfrac{3}{5} ight)left(-dfrac{4}{5 } ight)=-dfrac{24}{25} onumber]

Exemple (PageIndex{2})

Simplifier les expressions

a) (2cos ^{2} left(12{}^circ ight)-1)

b) (8sin left(3x ight)cos left(3x ight))

Solution

a) Notez que l'expression est sous la même forme qu'une version de l'identité du double angle pour le cosinus : (cos (2 heta )=2cos ^{2} ( heta )-1). En utilisant ceci,

[2cos ^{2} left(12{}^circ ight)-1=cos left(2cdot 12{}^circ ight)=cos left(24{} ^circ ight) onumber]

b) Cette expression ressemble au résultat de l'identité du double angle pour le sinus.

[8sin left(3x ight)cos left(3x ight) onumber] Factorisation d'un 4 sur l'expression originale
[4cdot 2sin left(3x ight)cos left(3x ight) onumber]Application de l'identité double angle
[4sin (6x) onumber]

Nous pouvons utiliser les identités à double angle pour simplifier les expressions et prouver les identités.

Exemple (PageIndex{3})

Simplifiez (dfrac{cos (2t)}{cos (t)-sin (t)}).

Solution

Avec trois choix sur la façon de réécrire le double angle, nous devons considérer lequel sera le plus utile. Pour simplifier cette expression, ce serait formidable si le dénominateur s'annule avec quelque chose dans le numérateur, ce qui nécessiterait un facteur de (cos (t)-sin (t)) dans le numérateur, ce qui est le plus susceptible de se produire si nous réécrivons le numérateur avec un mélange de sinus et de cosinus.

[dfrac{cos (2t)}{cos (t)-sin (t)} onumber]Appliquer l'identité du double angle
[=dfrac{cos ^{2} (t)-sin ^{2} (t)}{cos (t)-sin (t)} onumber]Facteur le numérateur
[=dfrac{left(cos (t)-sin (t) ight)left(cos (t)+sin (t) ight)}{cos (t)-sin (t)} onumber]Annulation du facteur commun
[=cos (t)+sin (t) onumber]Résultant sous la forme la plus simplifiée

Exemple (PageIndex{4})

Prouver (sec (2alpha )=dfrac{sec ^{2} (alpha )}{2-sec ^{2} (alpha )}).

Solution

Puisque le côté droit semble un peu plus compliqué que le côté gauche, nous commençons par là.

[dfrac{sec ^{2} (alpha )}{2-sec ^{2} (alpha )} onumber]Réécrire les sécantes en termes de cosinus
[=dfrac{dfrac{1}{cos ^{2} (alpha )} }{2-dfrac{1}{cos ^{2} (alpha )} } onumber]

À ce stade, nous pourrions réécrire le bas avec des dénominateurs communs, soustraire les termes, inverser et multiplier, puis simplifier. Alternativement, nous pouvons multiplier à la fois le haut et le bas par (cos ^{2} (alpha )), le dénominateur commun :

[=dfrac{dfrac{1}{cos ^{2} (alpha )} cdot cos ^{2} (alpha )}{left(2-dfrac{1}{cos ^{2} (alpha )} ight)cdot cos ^{2} (alpha )} onumber]Distribuer en bas
[=dfrac{dfrac{cos ^{2} (alpha )}{cos ^{2} (alpha )} }{2cos ^{2} (alpha )-dfrac{ cos ^{2} (alpha )}{cos ^{2} (alpha )} cdot } onumber]Simplifier
[=dfrac{1}{2cos ^{2} (alpha )-1} onumber]Réécrire le dénominateur comme un angle double
[=dfrac{1}{cos (2alpha )} onumber]Réécrire sous forme de sécante
[=sec (2alpha ) onumber]Établir l'identité

Exercice (PageIndex{2})

Utilisez une identité pour trouver la valeur exacte de (cos ^{2} left(75{}^circ ight)-sin ^{2} left(75{}^circ ight)) .

Réponse

[cos ^{2} left(75{}^circ ight)-sin ^{2} left(75{}^circ ight)=cos (2cdot 75{}^ circ ) onumber] [ = cos (150{}^circ )=dfrac{-sqrt{3} }{2} onumber]

Comme pour les autres identités, nous pouvons également utiliser les identités à double angle pour résoudre des équations.

Exemple (PageIndex{5})

Résoudre (cos (2t)=cos (t)) pour toutes les solutions avec (0le t<2pi).

Solution

En général, lors de la résolution d'équations trigonométriques, cela complique les choses lorsque nous avons un mélange de sinus et de cosinus et lorsque nous avons un mélange de fonctions avec des périodes différentes. Dans ce cas, nous pouvons utiliser une identité d'angle double pour réécrire le cos(2t). Lors du choix de la forme de l'identité à double angle à utiliser, nous remarquons que nous avons un cosinus du côté droit de l'équation. Nous essayons de limiter notre équation à une fonction trigonométrique, ce que nous pouvons faire en choisissant la version de la formule du double angle pour le cosinus qui n'implique que le cosinus.

[cos (2t)=cos (t) onumber]Appliquer l'identité du double angle
[2cos ^{2} (t)-1=cos (t) onumber]Ceci est quadratique en cosinus, donc faites un côté 0
[2cos ^{2} (t)-cos (t)-1=0 onumber]Facteur
[left(2cos (t)+1 ight)left(cos (t)-1 ight)=0 onumber]Séparez-le pour résoudre chaque partie séparément

[2cos (t)+1=0 ext{ ou }cos (t)-1=0 onumber]
[cos (t)=-dfrac{1}{2} ext{ ou }cos (t)=1 onumber]
[t=dfrac{2pi }{3} ext{ ou }t=dfrac{4pi }{3} ext{ ou }t=0 onumber]

En regardant un graphique de cos(2t) et cos(t) montrées ensemble, nous pouvons vérifier que ces trois solutions sur [0, 2 (pi)) semblent raisonnables.

Exemple (PageIndex{6})

Un boulet de canon est tiré à une vitesse de 100 mètres par seconde. S'il est lancé sous un angle de ( hêta), la composante verticale de la vitesse sera (100sin ( heta )) et la composante horizontale sera (100cos ( heta )). Ignorant la résistance au vent, la hauteur du boulet de canon suivra l'équation (h(t)=-4.9t^{2} +100sin ( heta )t) et la position horizontale suivra l'équation (x(t )=100cos ( heta )t). Si vous voulez toucher une cible à 900 mètres, à quel angle devez-vous pointer le canon ?

Solution

Pour toucher la cible à 900 mètres, on veut (x(t)=900)au moment où le boulet de canon touche le sol, quand (h(t)=0). Pour résoudre ce problème, nous allons d'abord résoudre le temps, (t), lorsque le boulet de canon touche le sol. Notre réponse dépendra de l'angle ( heta).

[h(t)=0pas de numéro]
[-4.9t^{2} +100sin ( heta )t=0 onumber]Facteur
[tleft(-4.9t+100sin ( heta ) ight)=0 onumber]Séparez cela pour trouver deux solutions

[t=0 ext{ ou }-4.9t+100sin ( heta )=0 onumber] Résoudre pour (t)
[-4.9t=-100sin ( heta ) onumber]
[t=dfrac{100sin ( heta )}{4.9} onumber]

Cela montre que la hauteur est 0 deux fois, une fois à (t = 0) lorsque le boulet de canon est tiré, et de nouveau lorsque le boulet de canon touche le sol après avoir volé dans les airs. Cette seconde valeur de (t) donne le moment où la balle touche le sol en fonction de l'angle ( heta). On veut que la distance horizontale (x(t)) soit de 900 lorsque la balle touche le sol, c'est-à-dire lorsque (t=dfrac{100sin ( heta )}{4.9}).

Comme la cible est à 900 m, nous commençons par

[x(t)=900 onumber]Utilisez la formule pour (x(t))
[100cos ( heta )t=900 onumber]Remplacez l'heure souhaitée, (t) ci-dessus
[100cos ( heta )dfrac{100sin ( heta )}{4.9} =900 onumber]Simplifier
[dfrac{100^{2} }{4.9} cos ( heta )sin ( heta )=900 onumber]Isoler le produit cosinus et sinus
[cos ( heta )sin ( heta )=dfrac{900(4.9)}{100^{2} } onumber]

Le côté gauche de cette équation ressemble presque au résultat de l'identité du double angle pour le sinus : [sin (2 heta )=2sin left( heta ight)cos left( heta ight) pas de numéro]

En multipliant les deux membres de notre équation par 2,

[2cos ( heta )sin ( heta )=dfrac{2(900)(4.9)}{100^{2} } onumber]Utilisation de l'identité à double angle sur la gauche
[sin (2 heta )=dfrac{2(900)(4.9)}{100^{2} } onumber]Utilisez le sinus inverse
[2 heta =sin ^{-1} left(dfrac{2(900)(4.9)}{100^{2} } ight)approx 1.080 onumber]Diviser par 2
[ heta =dfrac{1.080}{2} =0.540 onumber], soit environ 30.94 degrés

Identités de réduction de puissance et demi-angle

Une autre utilisation des identités d'angle double cosinus consiste à les utiliser à l'envers pour réécrire un sinus carré ou un cosinus en termes d'angle double. En commençant par une forme de l'identité du double angle cosinus :

[cos (2alpha )=2cos ^{2} (alpha )-1 onumber]Isoler le terme cosinus carré
[cos (2alpha )+1=2cos ^{2} (alpha ) onumber] Ajouter 1
[cos ^{2} (alpha )=dfrac{cos (2alpha )+1}{2} onumber]Diviser par 2
[cos ^{2} (alpha )=dfrac{cos (2alpha )+1}{2} onumber] C'est ce qu'on appelle un identité de réduction de puissance

Exercice (PageIndex{3})

Utilisez une autre forme de l'identité du double angle cosinus pour prouver l'identité (sin ^{2} (alpha )=dfrac{1-cos (2alpha )}{2}).

Réponse

[egin{array}{l} {dfrac{1-cos (2alpha )}{2} } {dfrac{1-left(cos ^{2} (alpha )- sin ^{2} (alpha ) ight)}{2} } {dfrac{1-cos ^{2} (alpha )+sin ^{2} (alpha )}{2 } } {dfrac{sin ^{2} (alpha )+sin ^{2} (alpha )}{2} } {dfrac{2sin ^{2} (alpha )}{2} =sin ^{2} (alpha )} end{array} onumber]

Les identités d'angle double cosinus peuvent également être utilisées à l'envers pour évaluer des angles qui sont la moitié d'un angle commun. En construisant à partir de notre formule (cos ^{2} (alpha )=dfrac{cos (2alpha )+1}{2}), si l'on laisse ( heta =2alpha), alors (alpha =dfrac{ heta }{2}) cette identité devient (cos ^{2} left(dfrac{ heta }{2} ight)=dfrac{cos ( heta )+1}{2}). En prenant la racine carrée, on obtient

[cos left(dfrac{ heta }{2} ight)=pm sqrt{dfrac{cos ( heta )+1}{2} } onumber]où le signe est déterminé par le quadrant.

C'est ce qu'on appelle un identité demi-angle.

Exercice (PageIndex{4})

Utilisez vos résultats du dernier Try it Now pour prouver l'identité (sin left(dfrac{ heta }{2} ight)=pm sqrt{dfrac{1-cos ( heta )} {2} }).

Réponse

[egin{array}{l} {sin ^{2} (alpha )=dfrac{1-cos (2alpha )}{2} } {sin (alpha )= pm sqrt{dfrac{1-cos (2alpha )}{2} } } {alpha =dfrac{ heta }{2} } {sin left(dfrac{ theta }{2} ight)=pm sqrt{dfrac{1-cos left(2left(dfrac{ heta }{2} ight) ight)}{2} } } {sin left(dfrac{ heta }{2} ight)=pm sqrt{dfrac{1-cos ( heta )}{2} } } end{array} onumber ]

IDENTITÉS

Identités demi-angle

[cos left(dfrac{ heta }{2} ight)=pm sqrt{dfrac{cos ( heta )+1}{2} }]

[sin left(dfrac{ heta }{2} ight)=pm sqrt{dfrac{1-cos ( heta )}{2} }]

Identités de réduction de puissance

[cos ^{2} (alpha )=dfrac{cos (2alpha )+1}{2}]

[sin ^{2} (alpha )=dfrac{1-cos (2alpha )}{2}]

Étant donné que ces identités sont faciles à dériver des identités à double angle, les identités de réduction de puissance et de demi-angle ne sont pas celles que vous devez mémoriser séparément.

Exemple (PageIndex{7})

Réécrivez (cos ^{4} (x)) sans aucun pouvoir.

Solution

[cos ^{4} (x)=left(cos ^{2} (x) ight)^{2} onumber]Utilisation de la formule de réduction de puissance
[=left(dfrac{cos (2x)+1}{2} ight)^{2} onumber]Carré du numérateur et du dénominateur
[=dfrac{left(cos (2x)+1 ight)^{2} }{4} onumber]Développez le numérateur
[=dfrac{cos ^{2} (2x)+2cos (2x)+1}{4} onumber]Séparer la fraction
[=dfrac{cos ^{2} (2x)}{4} +dfrac{2cos (2x)}{4} +dfrac{1}{4} onumber]Appliquer la formule ci-dessus à (cos ^{2} (2x))
[cos ^{2} (2x)=dfrac{cos (2cdot 2x)+1}{2} onumber]
[=dfrac{gauche(dfrac{cos (4x)+1}{2} ight)}{4} +dfrac{2cos (2x)}{4} +dfrac{1} {4} onumber]Simplifier
[=dfrac{cos (4x)}{8} +dfrac{1}{8} +dfrac{1}{2} cos (2x)+dfrac{1}{4} onumber ]Combiner les constantes
[=dfrac{cos (4x)}{8} +dfrac{1}{2} cos (2x)+dfrac{3}{8} onumber]

Exemple (PageIndex{8})

Trouvez une valeur exacte pour (cos left(15{}^circ ight)).

Solution

Puisque 15 degrés est la moitié de 30 degrés, nous pouvons utiliser notre résultat ci-dessus :

[cos (15{}^circ )=cos left(dfrac{30{}^circ }{2} ight)=pm sqrt{dfrac{cos (30{}^ circ )+1}{2} } onumber]

Nous pouvons évaluer le cosinus.Puisque 15 degrés se trouvent dans le premier quadrant, nous avons besoin du résultat positif.

[sqrt{dfrac{cos (30{}^circ )+1}{2} } =sqrt{dfrac{dfrac{sqrt{3} }{2} +1}{2} }pas de numéro]
[=sqrt{dfrac{sqrt{3} }{4} +dfrac{1}{2} } onumber]

Sujets importants de cette section

  • Identité double angle
  • Identité de réduction de puissance
  • Identité demi-angle
  • Utiliser des identités
  • Simplifier les équations
  • Prouver des identités
  • Résoudre des équations

Formule à double angle et formule à demi-angle

Dans ces leçons, nous apprenons à utiliser les formules à double angle et les formules à demi-angle pour résoudre des équations trigonométriques et prouver des identités trigonométriques. Nous prouverons également les formules du double angle et les formules du demi-angle.

La figure suivante donne les formules à double angle et les formules à demi-angle. Faites défiler la page vers le bas pour plus d'exemples et de solutions sur la façon d'utiliser, de dériver et de prouver les formules à double angle et les formules à demi-angle.


Exemple:
Donné, trouver
a) péché 2θ
b)

Solution:
a) sin 2θ = 2 sin cos θ

Utilisation d'identités à double angle pour résoudre des équations

Utilisation d'identités à double angle pour résoudre des équations, exemple 1.
Cette vidéo utilise des identités à double angle pour le sinus et/ou le cosinus pour résoudre certaines équations.

Exemple:
cos(4x) − 3cos(2x) = 4

Utilisation d'identités à double angle pour résoudre des équations, exemple 2

Exemple:
sin(2t) = sin(t)

Utilisation d'identités à double angle pour résoudre des équations, exemple 3

Exemple:
sin(2t) + 4sin(t) + 2cos(t) = -4

Prouver les identités trigonométriques à l'aide d'angles doubles

Identités trigonométriques - Angles doubles (1)

Exemple:
(1 − cos 2x)/sin 2x = tan x

Identités trigonométriques - Double angle (2)

Exemple:
Prouver tan x + cos x = 2 cosec 2x

Formules à double angle

Quelques exemples qui utilisent des formules à double angle de la trigonométrie.

  1. Si cos x = 1/√10 avec x dans le quadrant IV, trouver sin 2x
  2. Graphique y = 4 - 8 sin 2 x
  3. Vérifier sin60° = 2sin30°cos30°

Preuve des formules à double angle

Trigonométrie - Preuve des formules à double angle à partir des formules d'addition.

Comment dériver les identités d'angle double pour le sinus et le cosinus ?

Exemple:
Si cosθ = -4/5 et sinθ > 0, trouvez
a) sin2θ
b) cos2θ

Utiliser des formules demi-angle

Formules demi-angle
Quelques problèmes concernant les formules des demi-angles en trigonométrie.

Exemple:
Soit sinA = 4/5 avec A dans le quadrant II. Trouver

Identités demi-angle pour évaluer les expressions trigonométriques, exemple 1

Cette vidéo donne quelques identités de demi-angle et montre comment elles peuvent être utilisées pour résoudre certaines équations trigonométriques.

Exemple:
Trouver la valeur exacte de sin(22,5°)

Identités à demi-angle pour évaluer les expressions trigonométriques, exemple 2

Cette vidéo donne quelques identités de demi-angle et montre comment elles peuvent être utilisées pour résoudre certaines équations trigonométriques.

Exemple:
Trouvez la valeur exacte de tan (105°)

Identités à demi-angle pour évaluer les expressions trigonométriques, exemple 3

Cette vidéo donne quelques identités de demi-angle et montre comment elles peuvent être utilisées pour résoudre certaines équations trigonométriques.

Trouver sin(a/2) si cos a = 3/5 pour 0° ≤ a ≤ 90°

Preuve des formules demi-angle

Cette vidéo dérive les identités trigonométriques à demi-angle pour le cosinus, le sinus et la tangente.

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Identités de la somme des angles et de la différence | Feuilles de travail sur les angles composés

Les feuilles de travail pdf des identités de somme et de différence d'angle facilitent la détermination de la valeur exacte d'un angle, écrite sous forme de somme ou de différence en utilisant des valeurs familières de sinus, cosinus et tangente comme 30°, 45°, 60° et 90° et leurs multiples. Naviguez à travers des exercices de lycée imprimables comme trouver les valeurs exactes des expressions trigonométriques, évaluer et prouver des équations trigonométriques en utilisant la formule de somme et la formule de différence et une combinaison des deux. Nos feuilles de travail gratuites sont de parfaites rampes de lancement d'entraînement !

Équipez-vous d'une connaissance de l'identité à partir de la carte d'identité de somme d'angle. Déterminez la valeur exacte en observant l'angle dans l'expression trigonométrique et divisez-la comme la somme de deux angles connus.

Présentez l'identité de différence d'angle avec le tableau d'identité de différence. Décomposez l'angle comme la différence de deux angles connus en termes de sin, cos et tan pour trouver les valeurs exactes des expressions trigonométriques.

Récapitulez les formules de somme et de différence d'angle, en utilisant ces expressions trigonométriques avec des mesures d'angle qui peuvent être divisées en somme ou en différence de deux angles connus à l'aide des formules d'angle composé.

Ce tableau de feuilles de calcul pdf pour lycée se compose d'expressions trigonométriques à simplifier et à exprimer sous la forme d'une fonction trigonométrique unique en utilisant l'identité de somme ou de différence. Réduisez les expressions trigonométriques à des angles connus de sin, cos et tan.

Cet ensemble comprend des expressions trigonométriques qui doivent être évaluées pour calculer la valeur exacte en utilisant les identités d'angles composées en combinaison avec les autres identités trigonométriques.

Explorez les feuilles de calcul imprimables sur les rapports trigonométriques, incorporant des expressions trigonométriques, trouvez leurs valeurs en fonction du quadrant ou de l'intervalle donné dans lequel l'angle est situé en mettant en œuvre les identités d'angle composé.


Formules d'angle en trigonométrie : définition, représentation, questions et plus

Vérifiez la définition et les formules pour l'angle central, l'angle double et les angles multiples. Des exemples résolus pour plus de clarification des formules sont également fournis ici.

Angle: La mesure de l'ouverture entre deux droites sécantes s'appelle un angle.

Unité: L'unité d'angle est le radian ou le degré.

Formule d'angle : Il existe différents types de formules pour calculer les mesures de différents angles. Discutons des principaux ci-dessous :

Formule de l'angle central : L'angle au centre est l'angle formé par deux bras avec le centre d'un cercle comme sommet. Les deux bras forment deux rayons du cercle coupant l'arc de cercle en des points différents.

La formule de l'angle au centre est utilisée pour trouver l'angle entre deux rayons d'un cercle.

La formule de l'angle central est représentée par :

Formules à double angle :

Les formules à double angle sont nommées ainsi car elles impliquent des fonctions trigonométriques d'angles doubles, c'est-à-dire sin2θ, cos2θ et tan2θ.

Il existe trois formules principales à double angle comme ci-dessous :

où est l'angle dans un triangle rectangle.

Formules à angles multiples :

Les angles multiples sont de la forme sinm, cosm, et bronzagem. Le sinus, la tangente et le cosinus sont les fonctions générales de la formule des angles multiples.

Quelques exemples montrant l'application des formules d'angle sont donnés ci-dessous :

1. Trouvez l'angle d'un segment dans un cercle si la longueur de l'arc est de 7π et le rayon est de 9 unités.


Trigonométrie avancée

Conversion degrés/radians

Les radians et les degrés sont les unités les plus couramment utilisées pour mesurer les angles. Comme l'explique PurpleMath.com, les degrés & ldquo expriment la directionnalité et la taille de l'angle & rdquo tandis que les radians servent d'expressions numériques des degrés (par exemple, 360° = 2π). Vous trouverez ci-dessous une collection de convertisseurs :

Convertisseur d'angle de CleaveBooks.co.uk - Entrez votre angle en degrés pour le convertir en radians et autres unités. Si vous rencontrez des problèmes, suivez les instructions fournies.

Conversion d'angle de RapidTables.com - Facile à utiliser et convertira les degrés en radians ou les radians en degrés, respectivement. Les deux outils fournissent également des informations didactiques pour vous aider à mieux comprendre le concept :

Conversion des degrés en radians de UnitConversion.org - Rapide et facile à utiliser, entrez votre angle en degrés ou en radians et l'autre unité sera fournie instantanément.

Conversion d'angle de CalculatorSoup.com - Apprenez-en plus sur le fonctionnement des conversions angulaires en lisant les informations détaillées du didacticiel fournies. Utilisez les menus déroulants pour sélectionner le type de conversion que vous souhaitez effectuer.

Conversion angulaire de l'Université du Texas - Fourni par le Bureau de géologie économique de l'Université du Texas et rapide et facile à utiliser. Convertir des degrés en radians et vice versa.

Conversion de degrés en radians de ConvertUnits.com - La conversion de degrés en radians et de radians en degrés est rapide et facile. Pour en savoir plus sur la conversion, consultez la section Informations et définitions du didacticiel.

Conversion des degrés en radians de CalcuNation.com - Suivez la formule et l'exemple fournis pour mieux comprendre comment convertir les degrés en radians.

Degrés et radians de Mathinary.com - Rapide et facile à utiliser, apprenez-en plus sur la conversion des radians et des degrés et son application pratique à partir des informations fournies dans le didacticiel.

Convertisseur de degrés en radians de MathPortal.org - Convertissez des degrés en radians et vice versa. Une explication étape par étape est fournie avec vos résultats.

Degrés en radians de CalculatorPro.com - Ce convertisseur est rapide et facile à utiliser.

Convertisseur de degrés et de radians de UnitJuggler.com - Choisissez la conversion que vous devez effectuer et entrez vos valeurs. Les résultats sont clairs et faciles à comprendre.

Degrés/Radians de Had2Know.com - En savoir plus sur la façon de convertir les degrés et les radians à partir des informations détaillées du didacticiel et du graphique circulaire.

Radians et degrés de MattDoyle.net - Il n'y a pas de cloches et de sifflets avec ce convertisseur. Il est rapide et facile à utiliser. Sélectionnez la conversion que vous devez effectuer et entrez vos valeurs.

Convertisseur d'unités de TranslatorsCafe.com - Rapide et facile à utiliser, sélectionnez la conversion que vous devez effectuer et entrez vos valeurs. Vos résultats seront affichés instantanément.

Radians en degrés de TutorVista.com - Utilisez les exemples étape par étape pour en savoir plus sur la réalisation de ces conversions.

Degrés en radians de PlanetCalc.com - Rapide et facile à utiliser, entrez votre angle en degrés et la conversion en radians vous sera fournie.

Degrés et radians de WolframAlpha.com - Sélectionnez la conversion que vous devez effectuer. Lors de la conversion de radians en degrés, une représentation visuelle de votre angle à l'intérieur d'un cercle sera fournie.

Mesure d'angle

Les angles peuvent être mesurés en degrés ou en radians. Vous trouverez ci-dessous des outils pour vous aider à apprendre à mesurer des angles :

Taille angulaire de 1728.org - À utiliser pour résoudre l'angle, la distance ou la taille. Les angles sont présentés en degrés, minutes ou secondes. Il comprend un didacticiel sur la taille angulaire et des exemples d'utilisations dans le monde réel, telles que les mesures en astronomie.

Angle de VistualTrig.com - Entrez la valeur de l'angle supérieur ou la longueur de la base et le triangle s'ajustera en conséquence. Ou utilisez le curseur pour ajuster l'angle supérieur du triangle pour voir comment ses autres angles s'ajustent.

Cercle d'unité

Comme l'explique MathIsFun.com, un cercle unité est &ldquo un cercle avec un rayon de 1.&rdquo En trigonométrie, il fournit un moyen pratique d'apprendre les longueurs et les angles. En savoir plus sur les cercles unitaires via les outils ci-dessous :

Cercle d'unité de TutorVista.com - Utilisez les exemples étape par étape fournis et le diagramme étiqueté pour vous familiariser avec le travail avec un cercle d'unité.

Cercle d'unité interactif de MathIsFun.com - Faites glisser votre curseur autour du cercle d'unité pour voir comment les valeurs de sinus, de cosinus et de tangente s'ajustent sur le graphique.

L'applet Unit Circle d'AnalyzeMath.com - Choisissez une fonction, sinus, cosinus ou tangente. Ensuite, observez comment le cercle unité correspond au graphique tracé.

Identités trigonométriques

Comme l'explique PurpleMath.com, en mathématiques, &ldquoan identité est une équation qui est toujours vraie.&rdquo En trigonométrie, vous utiliserez fréquemment plusieurs identités (chacune avec des sections ci-dessous). Voici deux solveurs d'identités trigonométriques générales :

Solveur d'identités trigonométriques de SymboLab.com - Bien conçu et facile à utiliser, cette ressource fournit des explications étape par étape sur la façon de vérifier les identités trigonométriques.

Solveur d'identités trigonométriques de TutorVista.com - Suivez les instructions et exemples étape par étape pour améliorer votre connaissance des identités trigonométriques. Les identités Sum-to-Product et Product-to-Sum peuvent être exécutées.

Identités pythagoriciennes

RegentsPrep.org explique les identités pythagoriciennes. En savoir plus à l'aide de l'outil ci-dessous :

Résolution des identités pythagoriciennes d'EasyCalculation.com - Entrez votre angle puis suivez les résultats étape par étape pour voir comment/pourquoi l'identité est prouvée.

Identités Angle-Somme et -Différence

MathWords.com présente les identités de somme et de différence. Apprenez à travailler avec eux en utilisant les ressources ci-dessous :

Identités Angle-Somme d'EasyCalculation.com - Ces ressources peuvent être utilisées pour ajouter leurs fonctions trigonométriques respectives. Chacun (à l'exception du cosinus et de la cotangente) comporte la formule nécessaire et un diagramme :

Identités de différence d'angle d'EasyCalculation.com En savoir plus sur la soustraction de fonctions trigonométriques. Chacun (à l'exception de la cotangente) comporte la formule nécessaire et un diagramme.

Identités à double angle

WolframMathworld.com donne un aperçu des formules à double angle. Vous trouverez ci-dessous une collection de ressources d'identités à double angle :

Solveur d'identité à double angle d'EasyCalculation.com - Apprenez à utiliser l'identité à double angle pour le sinus, le cosinus et la tangente. Les formules respectives des fonctions sont fournies.

Identité à double angle de MeraCalculator.com - Une explication de la formule d'identité à double angle et un exemple de problème sont fournis.

Identités demi-angle

MathWords.com propose les formules d'identités demi-angle. Vous trouverez ci-dessous une collection de solveurs d'identités à demi-angle.

Solveur d'identités demi-angle d'EasyCalculation.com - Apprenez à &ldquoftrouver le sinus, le cosinus ou la tangente d'un demi-angle donné en fonction de la formule d'identité trigonométrique.

Identité du demi-angle de MeraCalculator.com - Des informations de didacticiel expliquant quand utiliser la formule du demi-angle et les formules pour le sinus, le cosinus et la tangente sont fournies.

Demi-angle cotangent d'EasyCalculation.com - Utilisez la formule et le diagramme fournis pour en savoir plus sur la recherche du demi-angle de cotangente en fonction de votre valeur d'angle connue.

Demi-angle de cosinus d'EasyCalculation.com - Un diagramme étiqueté et une formule de demi-angle de cosinus sont fournis.

Somme des identités

MathWords.com présente la somme des formules d'identités de produit. Vous trouverez ci-dessous des ressources qui vous apprennent à les utiliser :

La somme des identités de produit d'EasyCalculation.com - Le site présente ces ressources rapides et faciles à utiliser pour travailler avec la somme des identités de produit.

Formules Sum to Product et Product to Sum de MathCelebrity.com - Saisissez l'identité somme en produit ou produit en somme que vous souhaitez simplifier. Les résultats comprennent une explication étape par étape de la façon de procéder.

Identités des produits

Affichez le produit pour additionner les identités sur MathWords.com. Vous trouverez ci-dessous deux ressources pour vous aider à apprendre à travailler avec eux :

Identités de produit à somme d'EasyCalculation.com - Un moyen rapide et facile d'écrire et d'évaluer les produits de sinus et/ou de cosinus sous forme de sommes. Les formules nécessaires sont fournies.

Produit pour additionner les identités d'Eguruchela.com - Pas de cloches ni de sifflets, une ressource rapide pour travailler avec des produits pour additionner les identités.

Identités de réduction de puissance

Chegg.com explique les formules de réduction de puissance. Apprenez-en plus sur la façon de travailler avec eux en utilisant les ressources ci-dessous.

Réduction de puissance d'EasyCalculation.com – Familiarisez-vous avec les formules de réduction de puissance, qui sont fournies à titre de référence.

Identité de réduction de puissance de MeraCalculator.com - En savoir plus sur l'utilisation de l'identité de réduction de puissance à l'aide des informations fournies dans le didacticiel.

Identités de réduction de puissance d'Eguruchela.com - Une ressource simple et facile à utiliser pour travailler avec les identités de réduction de puissance.

Équations trigonométriques

Comme l'explique PurpleMath.com, résoudre des équations trigonométriques nécessite de combiner ce que vous avez appris sur les angles avec vos compétences algébriques. Vous trouverez ci-dessous une collection de solveurs d'équations trigonométriques :

Équations trigonométriques d'EasyCalculation.com - Rapides et faciles à utiliser, entrez votre angle et votre nombre entier pour trouver x. Les formules nécessaires sont fournies à titre de référence.

Équations trigonométriques de Symbolab.com - Bien conçues et faciles à utiliser, entrez votre propre équation ou travaillez avec l'un des exemples pour obtenir une explication étape par étape de la façon de résoudre l'équation. L'équation est également représentée sur un graphique.

Solveur d'équations trigonométriques de MathPortal.org - En savoir plus sur les équations trigonométriques via les exemples pas à pas.

Simplifier une expression trigonométrique de WebMath.com - Entrez votre expression. Cette ressource utilisera les identités de trig pour la simplifier. Une explication étape par étape est fournie.

Solveur d'équations de NumberEmpire.com - Utilisez &ldquoExample 2&rdquo pour en savoir plus sur la résolution d'équations trigonométriques. Une variété d'autres équations peuvent également être résolues.

Opérations vectorielles ou vectorielles

Comme l'explique SparkNotes.com, un vecteur est "essentiellement un segment de ligne dans une position spécifique, avec à la fois une longueur et une direction, désignée par une flèche à son extrémité". En savoir plus sur les vecteurs en utilisant les ressources ci-dessous :

Le vecteur de MathIsFun.com - Entrez les vecteurs sous forme de magnitude et d'angle ou sous forme de coordonnées x,y et voyez comment ils interagissent sur le graphique.

Vecteur de MathPortal.org – Saisissez vos coordonnées vectorielles en 2D ou 3D, puis sélectionnez l'opération que vous souhaitez effectuer. Cochez la case &ldquoMontrez-moi une explication&rdquo pour voir étape par étape comment le résultat a été trouvé.

Ajout de vecteurs de 1728.org - Une ressource rapide et facile à utiliser pour ajouter jusqu'à 10 vecteurs. Des informations sur le didacticiel et un schéma sont également fournis.


Plus de membres au corps d'expression

C# 6 a introduit des membres à corps d'expression pour les fonctions membres et les propriétés en lecture seule. C# 7.0 étend les membres autorisés qui peuvent être implémentés en tant qu'expressions. En C# 7.0, vous pouvez implémenter constructeurs, finaliseurs, et obtenir et définir les accesseurs sur Propriétés et indexeurs. Le code suivant montre des exemples de chacun :

Cet exemple n'a pas besoin de finaliseur, mais il est montré pour illustrer la syntaxe. Vous ne devez pas implémenter de finaliseur dans votre classe, sauf s'il est nécessaire de libérer des ressources non managées. Vous devez également envisager d'utiliser la classe SafeHandle au lieu de gérer directement les ressources non gérées.

Ces nouveaux emplacements pour les membres à corps d'expression représentent une étape importante pour le langage C# : ces fonctionnalités ont été implémentées par des membres de la communauté travaillant sur le projet open source Roslyn.

Changer une méthode en un membre à corps d'expression est un changement compatible binaire.


Q : Si cos u = -2/3 et π/2 &lt u &lt π, trouvez : a. péché (2u)

R : Cliquez pour voir la réponse

Q : Résolvez chaque équation ou solutions sur l'intervalle [0°, 360°). Donner des solutions au dixième près a.

A: Premièrement, nous résolvons l'équation donnée en tant qu'équation quadratique

Q : Résoudre pour toutes les solutions dans [0,2pi : CosxCotx=Cosx - radiands

R : Cliquez pour voir la réponse

Q : Instructions : Trouvez toutes les valeurs de dans l'intervalle [0°, 360°) et a la valeur de fonction donnée : a.

A : (a) Les valeurs de dans l'intervalle [0°, 360°) sont :

Q : évaluer exactement cos-1(-3/2)

A : -3/2 se situe en dehors du domaine de la fonction. donc nous n'aurons pas de solution

Q : Trouvez la valeur exacte de l'expression. N'utilisez pas de calculatrice. 5) péché-péché 5

Q : Simplifiez l'expression trigonométrique en suivant la direction indiquée. 11) Réécrivez sur une commo.


Autres formes de la formule à double angle du cosinus - Concept

Norm a terminé 4e aux États-Unis d'haltérophilie 2004 ! Il s'entraîne et concourt encore occasionnellement, malgré son emploi du temps chargé.

La formule du double angle cosinus est cos(2theta)=cos2(theta) - sin2(theta). En combinant cette formule avec l'Identité pythagoricienne, cos2(thêta) + sin2(thêta)=1, deux autres formes apparaissent : cos(2thêta)=2cos2(thêta)-1 et cos(2thêta)=1-2sin2(thêta). Ceux-ci peuvent être utilisés pour trouver les formules de réduction de puissance, qui réduisent une fonction trigonométrique du deuxième degré ou supérieure à un premier degré. Ces formules sont très utiles en calcul.

Je veux parler d'autres formes d'identités à double angle cosinus. Rappelons d'abord l'identité pythagoricienne et ses deux autres formes. Cosinus carré plus sinus carré égal à 1 peut également être écrit cosinus carré thêta est égal à 1 moins sinus carré thêta ou sinus carré thêta est égal à 1 moins cosinus carré thêta. Maintenant, la formule originale du double angle du cosinus est la suivante, le cosinus de 2 thêta est égal au cosinus au carré thêta moins sinus au carré thêta, mais je peux utiliser mes identités pythagoriciennes pour réécrire cela, donc une autre forme serait cosinus oops cosinus 2 thêta est égal à alpha cosinus thêta I&# 39ll le remplacer par 1 moins sinus carré thêta moins sinus thêta sine carré thêta et c'est 1 moins 2 sinus carré thêta de sorte que la deuxième forme cosinus 2 thêta équivaut à 1 moins 2 sinus carré thêta mais nous pouvons aussi faire cosinus de 2 thêta est égal et à partir de là, je peux remplacer le sinus au carré par 1 moins cosinus donc j'obtiens le cosinus au carré thêta moins 1 moins le sinus au carré thêta et le moins distribue j'obtiens moins 1 Je suis désolé cela devrait être cosinus, c'est parti, notre moins 1 distribue nous obtenons moins 1 et moins moins plus cosinus carré thêta donc cosinus carré thêta moins 1 plus cosinus carré thêta est 2 cosinus carré thêta moins 1, ils sont très similaires. Le cosinus 2 thêta est égal à 1 moins 2 sinus carré thêta, le cosinus 2 thêta est égal à 2 cosinus carré moins 1.
Afin de se rappeler qui est qui, rappelez-vous la formule originale du double angle du cosinus, le cosinus est celui qui est le sinus positif est celui qui est négatif, donc dans les autres formes, le sinus est toujours négatif et le cosinus est toujours positif.


7.3 : Identités à double angle

Cette page est une collection d'informations que j'ai recueillies sur plusieurs décennies concernant les arbres de transmission, leur configuration et leur alignement. Je ne suis pas un expert en la matière, mais j'ai essayé de n'utiliser que des informations qui semblent avoir du sens. Si vous trouvez quelque chose d'incorrect ou qui devrait être ajouté, veuillez l'envoyer par e-mail avec des références.

Avez-vous remarqué une vibration ou un grondement lorsque vous roulez sur l'autoroute ? Si vous avez parcouru beaucoup de kilomètres sur votre camion, si vous avez modifié la suspension ou la transmission de quelque manière que ce soit, vous pouvez ressentir des vibrations de la transmission.

D'après mes recherches, idéalement, vous voulez que les deux extrémités d'un arbre d'entraînement à double cardan se trouvent à 1 & 176-2 # 176 l'une de l'autre pour une durée de vie maximale du joint en U et un minimum de vibrations. Il s'agit en fait de l'angle de fonctionnement (sous charge) et non de l'angle de l'arbre d'entraînement par rapport aux joints universels eux-mêmes (qui a sa propre limite).

Étant donné que le pignon arrière monte sous l'accélération (à moins que vous n'ayez un contrôle anti-enroulement sur l'essieu), vous réglez idéalement l'angle de pignon statique à 1-2 & 176 en dessous de l'angle de bride de sortie de boîte de transfert. De cette façon, lorsque le pignon se tord, il s'aligne bien avec la boîte de transfert. En règle générale, ce chiffre ne sera répertorié dans aucun manuel d'entretien, mais j'ai trouvé une référence de Ford qui répertorie un angle de différence statique de 1,7 & 176.

Dans mon cas, j'avais installé une manille plus longue de 1,5" et une cale de 3" 176 pour compenser l'inclinaison supplémentaire de la manille. Je n'ai jamais mesuré les angles à l'époque. Plus tard, j'ai mesuré et trouvé même avec 3°, j'étais toujours 1° au-dessus de la boîte de transfert et j'avais besoin d'ajouter un autre 2-3° pour me faire passer le zéro et entrer dans la plage souhaitée. Je dois donc conclure qu'à l'origine, mon angle de pignon était également décalé avec la manille d'origine. L'expérience de conduite l'a également confirmé, j'avais des vibrations de la chaîne cinématique sous charge (le pignon bascule vers le haut), mais cela disparaîtrait dans des conditions de roue libre (le pignon bascule vers le bas).

Mon objectif est donc de mesurer ce que vous avez maintenant et de voir si tout va bien et dans quelle mesure cela changera-t-il avec une manille plus longue.

J'ai récemment installé un arbre de transmission arrière de style CV et j'ai dû incliner le pignon pour qu'il pointe directement vers la boîte de transfert, de sorte qu'une manille plus longue est avantageuse. J'ai calculé que j'aurais besoin d'une cale de 8" avec ma manille de 7" (3,5" plus longue que le stock), mais après avoir tout installé, j'ai découvert que mon pignon faisait environ 2" de haut, alors j'ai fait une cale personnalisée de 5" pour le placer 1& #176 en dessous de la ligne de la boîte de transfert. Si vous avez besoin d'une cale d'essieu sur mesure, je pourrai peut-être vous aider.

Cardan simple ou joint en U :

Joints à double cardan :

ARBRE RPM ANGLE DE FONCTIONNEMENT
5000 3.25°
4500 3.67°
4000 4.25°
3500 5.00°
3000 5.83°
2500 7.00°
2000 8.67°
1500 11.5°

Une question fréquemment posée concerne les arbres de transmission et les angles, etc. : "De quelle cale ai-je besoin pour X" de levage" ou "Est-ce que la cale Y est trop importante ?". Eh bien, il n'y a vraiment pas de réponse générale à ces questions générales, la bonne réponse est plutôt ce qui fonctionne pour cette situation particulière. Par exemple, en supposant que l'arbre de transmission est correctement aligné dans un véhicule avec suspension d'origine, s'il est levé avec un bloc ou un élévateur à ressort, alors tout doit toujours être aligné, au moins avec un arbre de transmission à cardan unique. C'est comme un parallélogramme, les angles changent, mais les côtés restent parallèles. Alors pourquoi certains fabricants de kits de levage incluent-ils des cales avec leurs kits ? (Probablement parce qu'ils ne savent pas sur quel type de véhicule le pont élévateur sera installé, ils fournissent donc des pièces qui peuvent ou non être nécessaires dans toutes les applications). Ainsi, la bonne réponse pour savoir combien caler un essieu pour corriger les angles de l'arbre de transmission dépend de la distance de départ de l'angle.

Alors, comment procédez-vous pour mesurer les chaînes cinématiques et les angles, etc.? À première vue, cela semble un peu difficile, mais j'ai quelques techniques simples qui rendent le travail très facile. La façon dont vous mesurez les angles dépend du type d'arbre de transmission que vous avez. Il y a aussi des complications supplémentaires lorsque vous avez un arbre d'entraînement en 2 parties, c'est-à-dire un avec un roulement de support.

La règle numéro un du cardan simple ou des joints universels est la somme de tous les angles de fonctionnement de tous les joints universels dans un arbre doit être égal à 0°. Maintenant, la distance à laquelle vous devez vous rapprocher de 0° varie, certains mfgs. disons 0,5°, certains disent 1°. Toyota spécifie 0,9° +/- 1°. Lors de la mesure de l'angle de fonctionnement, c'est l'angle net à travers le joint.

Pour régler la longueur de l'arbre d'entraînement, la mesurer d'une bride à l'autre au repos. Vous devez permettre au moins 1,25" de compression sur l'arbre arrière et peut-être un peu plus à l'avant (1,5"-2" - en supposant des manilles à ressort à l'arrière) pour permettre la compression de la suspension. Ensuite, assurez-vous d'avoir suffisamment de course de la cannelure à plein statisme. Si la longueur de cannelure existante n'est pas assez longue (parfois un problème dans l'arbre d'entraînement avant), un arbre cannelé à longue course peut être nécessaire.

Une suggestion très importante est de mesurer tous les angles d'arbre et de joint AVANT de modifier votre véhicule. De cette façon, vous disposez d'un point de référence avec lequel comparer après avoir soulevé ou abaissé le véhicule. De plus, vous serez familiarisé avec le processus de mesure et vous pourrez vérifier que vos mesures de pré-modification "ont du sens". Vous devriez être en mesure de voir comment les angles ont été configurés à l'usine, en supposant que votre arbre d'entraînement fonctionnait sans à-coups lorsque vous avez pris les mesures. Vous devez également vérifier la longueur des arbres afin de savoir si la longueur de l'arbre de transmission a changé et peut avoir besoin de quelque chose comme une entretoise pour l'allonger.

Un arbre à cardan ou à cardan unique est généralement le type d'arbre le moins cher et le plus facile à entretenir. Les joints universels sont peu coûteux et faciles à entretenir et/ou à remplacer. Cette conception d'arbre tolère bien les changements de hauteur de caisse et les levées de suspension à ressort ou à bloc n'ont généralement aucun effet sur l'alignement. Le principal inconvénient de ce type d'arbre est que plus l'angle de fonctionnement est élevé, plus l'arbre risque de vibrer. Cela varie en fonction de la vitesse de fonctionnement, du diamètre de l'arbre, de la longueur, de l'épaisseur de la paroi et du matériau. Sur mon camion avec env. un arbre long de 46 ", lorsque l'angle de l'arbre dépassait 12 & 176, il ne fonctionnait plus en douceur.

  • En supposant que vous ayez un seul arbre de transmission à cardan et que vous vouliez vérifier si la sortie de la boîte de transfert et les brides du pignon sont presque parallèles, mesurez simplement la distance entre le haut et le bas de chaque bride.
    • Si les dimensions sont égales, les deux brides sont parallèles.
    • S'ils ne sont pas égaux, alors chaque différence de 1/16" (1,5 mm) est égale à 0,9"

    • Maintenant, s'il s'agissait d'un seul triangle, votre angle de correction serait de 0,9 176 par 1/16 po de pouce. Cependant, dans ce cas, puisqu'il y a un joint en U impliqué, il a un "centre fantôme" et vous avez donc affaire à deux triangles, un de chaque côté du centre du joint en U.
    • Comme il y a deux triangles, chaque modification que vous apportez à l'un affectera également l'autre. Ainsi, si vous dites 1/4" (ou 4/16") de haut en bas, si vous rétrécissez un côté de 2/16", l'autre côté augmentera mes 2/16" et les deux extrémités seront parallèles.
    • Ainsi, une façon de penser à la correction est la moitié de la différence entre les longueurs supérieure et inférieure, 4/16" de différence, 2/16" est la moitié de cela, 2 x 0,9° =

    0.5° par 1/16" de différence, 4/16" de différence =

    • Si aucune bride n'est utilisée, un détecteur d'angle doit être utilisé pour mesurer les angles
    • Si votre arbre de transmission n'a pas de brides aux extrémités et a à la place des chapes de joint en U, cette technique peut ne pas fonctionner aussi bien. Dans ce cas, un chercheur d'angle bon marché fera l'affaire. Vous devrez peut-être encore faire preuve de créativité pour trouver des emplacements qui vous permettront de mesurer les angles à l'extrémité de l'arbre. Vérifiez si le haut ou le bas du différentiel ou de la boîte de transfert sont parallèles aux extrémités de l'arbre ou des chapes de joint universel.
    • Et notez que nulle part dans cette discussion l'angle réel de l'arbre de transmission n'a été mentionné. Pourquoi? Parce qu'au fond ça n'a pas d'importance. Ce qui compte, c'est que les deux joints universels à chaque extrémité de l'arbre aient le même angle. Cet angle exact dépendrait bien sûr de l'angle de l'arbre lui-même, mais seuls les angles relatifs (ou la différence d'angles) à chaque joint en U importent. Donc, si vous avez un angle d'arbre de transmission de 10 & 176 et 10 & 176 sur le joint universel supérieur et dites 11 & 176 sur le joint universel inférieur, vous auriez une différence de 1 & 176. Maintenant, disons que l'angle de l'arbre de transmission a été augmenté à 15°. De même, disons que l'angle du joint en U supérieur augmente également à 15 & 176 et l'angle inférieur à 16 & 176. La différence est toujours de 1 & 176, donc comme vous pouvez le voir, l'angle de l'arbre de transmission lui-même n'a aucun impact sur l'angle de fonctionnement du joint universel lui-même.

    Alors, pourquoi les angles de fonctionnement du joint universel doivent-ils être les mêmes aux deux extrémités de l'arbre de transmission ? Pour comprendre cette exigence, vous devez voir comment fonctionne un joint en U lorsqu'il tourne. Pour un cas facile, supposez qu'il n'y a pas d'angle de fonctionnement, c'est-à-dire 0°, entre deux arbres reliés par un joint en U. Comme un arbre tourne à 360 °, l'autre arbre aussi, à l'unisson exact, donc à 0 ° 176, il n'y a pas de problème.

    • Notez que si vous n'avez qu'un seul joint universel sur l'arbre, comme dans un arbre à double cardan, il doit donc être à un angle de fonctionnement de 0 & 176.

    Cependant, inclinons les deux arbres pour dire 45 & 176. Maintenant, regardez la "croix" du joint en U lorsqu'il tourne. Lorsque le côté d'entraînement de la croix est horizontal, ses extrémités se déplacent à la même vitesse que le joug sur l'arbre d'entraînement. Cependant, le côté entraîné du joint universel est décalé de 90 ° 176 par rapport au côté moteur, mais comme la croix du joint universel est rigide, les 4 extrémités se déplacent à la même vitesse angulaire, c'est-à-dire celle de l'arbre d'entraînement. Cependant, comme il y a cet angle de 45 ° 176 entre les deux arbres, la croix est également inclinée de 45 ° 176, ce qui signifie que la longueur effective de ce côté est égale au sin (45) fois sa longueur réelle ou 71%. Mais, comme il se déplace à la même vitesse angulaire, la vitesse de surface qui est égale à la vitesse angulaire multipliée par le rayon (ou la longueur) est maintenant de 71% de la vitesse de l'arbre menant, c'est-à-dire que l'arbre mené tourne momentanément à 71% le vitesse de l'arbre moteur ! Maintenant, tournez l'arbre d'entraînement 90 & 176 plus loin dans sa rotation. Maintenant, le côté moteur de la croix est à 45 & 176, sa longueur effective est donc maintenant de 71% et le côté entraîné est de 100%. En supposant que la vitesse de l'arbre menant soit constante, cela signifie que la vitesse de l'arbre mené est maintenant 1,00/0,71 ou 1,41 fois (ou 141%) plus rapide que l'arbre mené ! Ainsi, si l'arbre d'entraînement tourne à, disons, 1 000 tr/min, l'arbre entraîné variera de 710 à 1 410 tr/min lorsqu'il tourne, avec une moyenne de 1 000 tr/min. C'est ce qui fait vibrer un arbre de transmission. Si vous voulez lire tous les détails sanglants, cette page Web contient une explication très détaillée.

    Alors, comment une telle configuration peut-elle fonctionner dans le monde réel ? En fin de compte, si vous collez un autre joint universel à l'autre extrémité de l'arbre et l'alignez en phase avec le premier et gardez les angles identiques, ces changements de vitesse de rotation s'annulent presque. Pendant que le cardan moteur accélère l'arbre de transmission, le cardan entraîné à l'autre extrémité ralentit ce à quoi il est accroché (généralement le pignon sur le différentiel). Et tandis que le cardan moteur accélère l'arbre de transmission, le cardan entraîné ralentit le pignon. Tout cela a pour résultat que l'extrémité pignon de l'arbre est entraînée et presque exactement à la même vitesse que l'extrémité boîte de transmission/boîte de transfert de l'arbre.

    Je dis "presque" car les deux joints universels ne s'annulent même pas parfaitement (sauf à l'angle de fonctionnement 0 & 176). Plus l'angle de fonctionnement est petit, meilleure est l'annulation, plus l'angle de fonctionnement est grand, moins l'annulation est. De plus, si les angles sur les deux joints universels ne sont pas les mêmes, l'annulation est moins bonne et si les deux joints universels ne sont pas correctement phasés l'un par rapport à l'autre, l'annulation est encore pire. En fait, si vous deviez aller à l'extrême et placer les joints en U à 90 & 176 l'un de l'autre, non seulement il n'y aurait pas d'annulation, mais ils aggraveraient en fait la vibration de rotation, le premier joint induirait sa composante , alors la deuxième articulation prendrait cela et le multiplierait par son propre facteur en fonction de l'angle. Ainsi, dans le cas ci-dessus d'un angle de fonctionnement de 45 & 176, le joint entraîné fonctionnerait d'environ 50 % à 200 % de la vitesse du joint d'entraînement, ou de 500 tr/min à 2000 tr/min pour une entrée de 1000 tr/min. Vous pouvez imaginer ce que cela donnerait à conduire sur la route, disons qu'à un régime moteur, cela devrait donner une vitesse de 30 MPH, les pneus tourneraient de 15 MPH à 60 MPH en faisant un tour ! Voir la section ci-dessus sur l'angle d'arbre "maximum" avec un arbre à cardan unique.

    Et si vous ne comprenez pas ce qui précède (ou le croyez), jetez un œil à cette animation et regardez l'arbre central accélérer et ralentir pendant qu'il tourne. L'avantage de cet alignement d'arbre de transmission est qu'il est essentiellement insensible aux changements de hauteur de caisse avec la charge. Vous pouvez considérer l'arbre comme un parallélogramme, les joints universels supérieur et inférieur restant parallèles à mesure que l'essieu se rapproche ou s'éloigne du cadre. Les inconvénients de cette configuration sont que vous obtenez les angles de fonctionnement de joint en U les plus élevés (angles plus élevés = plus de vibrations) et en particulier sur les applications à arbre de transmission court, la longueur change plus pour une levée donnée que les autres alignements.

    Une autre option d'alignement à cardan unique, comme discuté dans cette page Web, consiste à traiter les 2 joints universels comme un joint homocinétique et l'arbre d'entraînement lui-même comme simplement la section centrale d'un joint homocinétique. Pour ce faire, vous "divisez" l'angle de l'arbre d'entraînement entre les deux joints universels. Donc, si vous avez un angle de 10° entre la sortie du boîtier de transmission/transfert et l'arbre de transmission, vous réglez l'angle du joint universel supérieur à 5° et l'angle du joint universel inférieur à 5°. Cette configuration a l'avantage d'un angle de fonctionnement moindre sur les joints universels (5 ° 176 contre 10 ° 176 dans ce cas). Les inconvénients de cette configuration sont qu'elle peut être plus sensible aux changements de hauteur de caisse, car l'angle de joint supérieur changera à mesure que la hauteur de caisse change, mais l'angle de joint inférieur restera à peu près le même, désalignant l'alignement. De plus, cet alignement incline l'angle de votre pignon vers le haut. Bien que cela puisse être utile en utilisation tout-terrain car l'arbre et le joint universel inférieur sont en haut et à l'écart des rochers sur le sentier, vous pouvez rencontrer des problèmes de lubrification avec les roulements du pignon. Ces roulements ne sont lubrifiés que par les éclaboussures d'huile de la flaque d'huile dans le carter d'essieu, plus les roulements de pignon sont hauts, moins ils peuvent voir d'huile. Souvent, vous pouvez vous en sortir avec un remplissage excessif d'huile dans l'essieu, je le fais en reculant sur des rampes pour compléter mon huile pour engrenages. Une autre option consiste à déplacer le trou de remplissage d'huile sur l'essieu à un emplacement plus élevé.

    Un arbre à cardan double ou à joint homocinétique présente le principal avantage d'un fonctionnement plus doux à des angles de fonctionnement plus élevés. Le double cardan ou joint homocinétique prend tout l'angle dans l'arbre et le joint en U à l'autre extrémité fonctionne à un angle de fonctionnement proche de 0 & 176. Les principaux inconvénients d'un arbre homocinétique sont que le joint homocinétique est plus cher, plus difficile à entretenir et à remplacer. De plus, la configuration de l'arbre CV est sensible aux changements de hauteur de caisse. Vous verrez quelque chose comme un changement d'angle de 1 arbre pour chaque pouce de changement de hauteur de caisse, en supposant un arbre nominal de 48 po de long. Cela signifie que les ascenseurs à ressort et à bloc changeront l'angle de l'arbre et affecteront ainsi l'alignement. Cependant, les manilles à ressort plus longues donnent généralement de la portance, mais aussi une certaine inclinaison de l'angle du pignon et sont donc plus tolérantes.

    Angle de pignon: 68 & 176 Angle de l'arbre de transmission : 23 / 176

    • Pour un arbre de transmission à double cardan, vous devez vraiment travailler avec des angles directement, c'est-à-dire que vous devez connaître l'angle de l'arbre de transmission lui-même et du joint en U à l'extrémité opposée au joint homocinétique.
    • Comment mesurer l'angle de l'arbre d'entraînement lui-même?
      • J'utilise un niveau de menuisier numérique Stanley (lit les angles au 0,1 / 176 le plus proche), en sortant l'unité de détection du boîtier du niveau du menuisier. Ce niveau a un mode pour lire en degrés. Tout d'abord, mesurez l'angle de l'arbre de transmission sur le véhicule au repos. Retirez ensuite l'arbre d'entraînement et placez le niveau sur les brides auxquelles il était attaché et obtenez ces angles.
        • Astuce : si vous faites cela, vous n'avez pas besoin d'utiliser la technique de l'étape 1 ci-dessus.
        • Un point à noter est que mon arbre de transmission ne tourne pas vraiment à 23 & 176, les photos et les mesures ci-dessus ont été faites sur mon allée en pente, il s'agit d'environ 8 & 176, mais cela n'a vraiment pas d'importance, vous n'avez pas besoin de être sur une surface parfaitement plane et de niveau pour faire ces mesures. Quel que soit l'angle sur lequel la surface sur laquelle vous vous trouvez est annulé, vous ne vous souciez que de la différence des deux angles, pas de leurs valeurs réelles.
        • Déterminez donc l'angle exact, trouvez l'angle de votre arbre de transmission par rapport à l'horizontale, puis réglez la bride de pignon au même angle par rapport à la verticale
        • Par exemple, lorsque j'ai installé de nouveaux ressorts sur mon Toyota 4Runner, j'ai décidé d'utiliser un arbre de transmission arrière de style CV. J'ai utilisé 3,5" plus longs que les manilles de ressort arrière d'origine pour accueillir les ressorts plus longs, cela m'a donné environ 6" d'inclinaison, mais j'ai mesuré et déterminé que j'avais besoin d'un angle supplémentaire de 8" 176. Après avoir installé la cale 8 & 176, j'ai trouvé que le pignon est maintenant un peu plus incliné que l'arbre de transmission. J'ai donc conçu ma propre cale en acier à 5° pour régler le pignon 1°-2° en dessous de l'angle de l'arbre de transmission pour corriger ce problème.
        • Ce que je n'ai pas pris en compte avec la configuration à double cardan, c'est que lorsque vous inclinez le pignon, vous soulevez l'extrémité du pignon de l'arbre de transmission et diminuez ainsi son angle.
        • J'ai supposé que ce serait négligeable, mais j'avais tort.
        • Sur mon essieu (un essieu de mini-camion Toyota, couronne de 8"), il fait env. 11" de l'axe de l'essieu à la bride du pignon. Si mon arbre de transmission mesure environ 44" de long, il existe un rapport inverse entre les longueurs respectives et le changement d'angle. Dans ce cas, pour chaque 4° de changement de pignon, il y a 1° de changement d'arbre de transmission.
        • En d'autres termes, si vous avez besoin d'un changement d'angle de 5 & 176, déplacez le pignon vers le haut de 4 & 176 et cela fera baisser l'angle de l'arbre de transmission 1 & 176.

        Alors, pourquoi devez-vous exécuter le joint en U à 0 & 176 avec un joint homocinétique à l'autre extrémité. Consultez la discussion ci-dessus et réalisez que le seul moment où un seul joint universel peut fonctionner correctement est à un angle de fonctionnement de 0 & 176. À n'importe quel angle non nul, le joint en U induira une vibration de rotation dans tout ce à quoi il est accroché. Ce n'est pas souhaitable, donc le joint universel DOIT être à un angle de fonctionnement de 0 & 176 dans un arbre de type CV ou double cardan. En théorie, 0° est idéal en ce qui concerne la fin des vibrations, avoir un joint universel fonctionnant réellement à exactement 0° n'est pas bon d'un point de vue mécanique pratique. Pourquoi donc? Will, à l'intérieur des extrémités de la croix en U se trouvent de minuscules roulements à aiguilles et si vous exécutez le joint à exactement 0 ° 176, ces roulements à aiguilles ne bougent jamais et donc la force concentrée des roulements sur les courses se trouve à un endroit et vous pouvez rencontrer "brinelling", qui se produit lorsque les roulements créent des bosses dans les courses, créant un effet comme un méplat sur un pneu. Ainsi, un léger angle de fonctionnement de 0,5 ° 176 à 1 ° 176 environ permettra aux roulements de rouler d'avant en arrière sur une plus grande surface des chemins de roulement et garantira également que la graisse peut être déplacée sur les roulements, car sans mouvement relatif , la graisse ne coulera pas.

        Les avantages d'un arbre d'entraînement à double cardan ou CV sont qu'il peut fonctionner plus facilement à des angles plus élevés qu'un arbre à simple cardan. Il partage un inconvénient de l'alignement alternatif de l'arbre à cardan unique ci-dessus, en ce sens qu'il est sensible aux changements de hauteur de caisse. Par exemple avec un

        Arbre d'entraînement de 48" de long, chaque pouce de changement de hauteur de caisse entraînera un changement d'environ 1 & 176 dans l'angle de l'arbre d'entraînement et donc un changement de 1 & 176 dans l'angle du joint universel inférieur. Ainsi, dans un véhicule qui transporte une quantité variable de marchandises, vous devrez peut-être trouver un compromis entre les angles d'arbre chargé et déchargé. De plus, l'angle du pignon est incliné plus haut qu'avec un alignement d'arbre à joint universel traditionnel, mais pas aussi loin qu'avec l'alignement alternatif à joint universel.

        Les arbres en deux parties deviennent populaires auprès des constructeurs de camions légers. Leur principal avantage est qu'ils peuvent être plus légers pour une longueur donnée grâce au roulement de support central (CSB) divisant l'arbre en 2 sections. De plus, s'il est correctement configuré, un arbre en 2 parties peut fonctionner sans à-coups. Mais le principal inconvénient d'un arbre en 2 parties est qu'il est affecté négativement par presque toutes les modifications apportées à la suspension. Soulever ou abaisser le chariot et des vibrations sont probables. Certaines personnes essaient d'ajouter des entretoises sur le CSB pour l'élever ou l'abaisser. Mais souvent, cela cause plus de problèmes qu'il n'en résout. Il est important de considérer un arbre en 2 pièces comme 2 arbres d'entraînement séparés. Il y a la section de la boîte de transmission/transfert au CSB. Cette section de l'arbre n'est généralement pas affectée par les changements de hauteur de caisse. Cependant, la partie inférieure de l'arbre est affectée. Le principal problème est que peu, voire aucun, de camions mfgs. avoir des spécifications sur ce que devrait être l'alignement de l'arbre ou sur la façon dont l'arbre a été configuré en usine. J'espère que vous avez mesuré tous les angles et longueurs de l'arbre et du joint avant de modifier la suspension. Un problème courant sur les arbres en 2 pièces est que le CSB est retiré de son boîtier car l'arbre est trop court et doit être rallongé. Voir cette page pour les entretoises d'arbre de transmission...

        Vous trouverez ci-dessous deux configurations courantes d'arbre d'entraînement en deux parties. Ils sont fondamentalement la même configuration globale en ce sens qu'il y a 3 joints en U et le palier de support central. Mais la différence réside dans la façon dont les angles sont répartis sur les 3 joints en U. Avec 2 joints universels, comme nous l'avons vu ci-dessus, 2 joints universels opposés doivent fonctionner et le même angle de fonctionnement pour une vibration minimale. Avec 3 joints en U, vous avez généralement la même configuration, 2 des 3 sont au même angle. Et puis le joint en U restant doit fonctionner à 0 degré afin qu'il fonctionne également en douceur. Une autre option consiste à avoir les 3 joints universels au même angle de fonctionnement.

        Ce qui varie dans lequel 2 joints en U sont au même angle et qui est à 0 degré. La clé du diagnostic des problèmes de vibration dans ces types d'arbres consiste à déterminer la configuration à laquelle vous avez affaire. Nous avons des schémas de 4 configurations communes sont montrés ci-dessous. D'autres configurations sont également possibles. Par exemple, le joint en U central peut être remplacé par un joint homocinétique ou à double cardan.

        Si nous étiquetons les angles de fonctionnement du joint en U avec A comme supérieur, B comme milieu et C comme inférieur, l'une des 4 relations suivantes fonctionne :

        1. A = 0, B = C
        2. A = C, B = 0
        3. A + B + C = 0, A=B=C ou A-B = B-C, selon la source
        4. A = B, C = 0

        Le style 1 a l'avantage d'être insensible aux variations de hauteur de caisse, dues au chargement ou à la suspension à ressort ou à bloc, car les 2 joints universels inférieurs resteront alignés lorsque l'essieu se rapproche ou s'éloigne du cadre.

        Le style 2 définit l'angle médian sur 0 et transforme fonctionnellement l'arbre en 2 pièces en un arbre en 1 pièce.

        Le style 3 consiste à " jongler " avec les angles de fonctionnement des 3 joints en U pour obtenir un total de zéro. C'est une option si vous ne parvenez pas à obtenir un seul joint en U suffisamment proche de 0 & 176 pour " l'éliminer ". Cela peut également être mis en place avec tous les angles étant "égaux" en magnitude mais opposés "sign".

        Le style 4 est un peu comme un arbre de type CV ou double cardan. Tout l'angle de l'arbre est géré par la paire supérieure de joints en U.

        Les styles 2, 3 et 4 seront sensibles aux variations de hauteur de caisse car le joint universel inférieur et l'angle de l'arbre peuvent changer lorsque la position de l'essieu change.

        Comme vous pouvez le voir, chaque style a des avantages et des inconvénients. Votre véhicule peut avoir été configuré dans un style et après un changement de hauteur de suspension, vous pouvez avoir des problèmes de vibrations. Vous devrez voir quel style de configuration est le plus facile à cibler lorsque vous réalignez tout. Cela peut être le style d'origine, ou il peut être plus facile de mettre les choses en place dans un autre style.

        1 : arbre en 2 pièces avec joint universel supérieur à angle 0

        Dans ce cas, vous souhaitez conserver l'angle de joint en U avant "quotodd" à 0 degré et ajuster uniquement l'angle de fonctionnement du joint en U de l'essieu et du pignon pour qu'il corresponde à celui du joint en U du milieu.

        2 : arbre en 2 pièces avec joints universels supérieurs et inférieurs parallèles

        Dans ce cas, vous essayez d'obtenir des angles de joint en U supérieur et inférieur parallèles les uns aux autres. Notez que le croquis est un peu trompeur car vous devrez peut-être avoir le joint en U central à un angle de fonctionnement de 0 degré.

        3: arbre en 2 pièces avec différentes sections d'arbre d'angle

        Dans ce cas, vous divisez essentiellement l'angle d'arbre global entre la transmission et l'essieu. Cela vous donne deux arbres plus courts connectés bout à bout et chacun est configuré avec des angles de fonctionnement différents sur chaque joint en U. Avec ce type de configuration, vous devrez peut-être ajuster à la fois l'angle du pignon au niveau de l'essieu ainsi que l'angle/la hauteur du palier de support central. Cela prendra probablement un processus par morceaux, en ajustant l'angle du pignon, en mesurant et en ajustant le roulement de support central, etc. Un exemple pourrait être de régler l'angle du joint supérieur sur 2 & 176 vers le bas, puis le joint central sur 2 & 176 + 2 & #176 = 4° en dessous de l'angle supérieur de l'arbre. Réglez ensuite l'angle inférieur sur 2° vers le haut. Cela représenterait une somme de 0 & 176 d'angles de fonctionnement. Cependant, étant donné que l'annulation de la vitesse du joint en U n'est pas linéaire avec les changements d'angle, vous devrez probablement modifier un peu l'angle du joint inférieur pour compenser. Les angles et les alignements des joints en U sont mieux approximés avec le cosinus de l'angle de fonctionnement. Si vous vous souvenez de vos identités trigonométriques au lycée, concernant l'addition du cos de l'angle "a" et du cosinus de l'angle "b", vous obtenez cos(a) + cos(b) = 1/2 x (cos(ab) + cos(a+b) ). Donc, 2+2 peut ne pas être exactement égal à 4, probablement assez proche à des angles plus petits, mais à mesure que les angles augmentent, la différence augmente.

        Une autre façon de voir les choses est que les angles A et B s'annulent à peu près et que les angles B et C font de même. Cela peut arriver si l'angle B est le double de l'angle A (en termes absolus ou c'est la même chose que A par rapport à A). Ensuite, l'angle C est réglé pour annuler l'angle B sur la partie inférieure de l'arbre. Ainsi, la différence entre les angles A et B est la même que la différence entreh B et C.

        4 : arbre en 2 pièces avec un angle de 0 sur le joint universel inférieur

        Dans ce cas, les 2 joints universels supérieurs sont au même angle de fonctionnement et le joint universel inférieur au niveau de l'essieu est à 0 degré. Le joint en U supérieur (à gauche) et le CSB qui seraient juste à gauche du joint central ne sont pas représentés. Avec ce type de configuration, vous devrez peut-être ajuster à la fois l'angle du pignon au niveau de l'essieu ainsi que l'angle/la hauteur du palier de support central. Cela prendra probablement un processus par morceaux, en ajustant l'angle du pignon, en mesurant et en ajustant le palier de support central, etc. Notez que vous aurez probablement le joint supérieur et la section de l'arbre inclinés vers le bas à un certain angle. Ensuite, le joint central sera incliné vers le bas de la même quantité de sorte que la section inférieure de l'arbre soit à deux fois l'angle de la section supérieure de l'arbre. Par exemple, l'articulation supérieure et l'arbre inclinés vers le bas 2 176, l'articulation centrale inclinée vers le bas 2 176 en dessous et la partie inférieure de l'arbre inclinée vers le bas 4 176.

        Voici un article sur la configuration des angles sur un Toyota Tacoma avec CSB où les joints en U de la section supérieure de l'arbre sont à angles égaux et le joint en U du pignon est à 0 degré :

        Le phasage est un terme qui décrit l'alignement des joints à cardan unique sur les extrémités opposées de l'arbre d'entraînement. Comme discuté ci-dessus, un joint à cardan unique (ou en U) ne tourne pas à une vitesse constante si l'angle de fonctionnement est non nul. L'arbre d'entraînement accélère et ralentit légèrement lorsqu'il tourne en raison de la nature du joint. Une façon de réduire cela est de s'assurer que les joints à chaque extrémité de l'arbre d'entraînement sont correctement alignés. Si les fourches à chaque extrémité de l'arbre s'alignent les unes avec les autres, comme indiqué par la ligne bleu clair dans la figure ci-dessous :

        Ensuite, l'effet sera que les deux articulations auront tendance à annuler les variations de vitesse l'une de l'autre. Dans la plupart des applications 4x4, l'arbre d'entraînement aura une fourche coulissante au milieu pour permettre des changements de longueur. Si l'arbre est démonté, il est important de le réaligner correctement lors du remontage. Une façon de le faire est de marquer les deux côtés de l'empiècement coulissant. Cependant, vous devez vérifier que les articulations s'alignent vraiment correctement, ne présumez pas qu'elles le sont. La raison du phasage est que la variation de vitesse de l'articulation est liée à son angle de fonctionnement et à son angle de rotation. Afin d'obtenir l'annulation la plus efficace, les chapes d'articulation *doivent* être alignées exactement les unes avec les autres et les angles de fonctionnement doivent être identiques. Toute variation dans l'un ou l'autre des angles apparaîtra comme une vibration non annulée. Alors que des angles de fonctionnement inégaux entraînent une vibration qui augmente avec le régime de l'arbre, des problèmes de phasage peuvent être ressentis à des régimes plus bas et des charges plus élevées, comme lors de l'accélération à partir d'un arrêt.

        La plupart des arbres de transmission auront une sorte de marque d'alignement estampée ou peinte pour indiquer la bonne orientation de la fourche coulissante. S'il n'y en a pas, ils essaient d'aligner les embouts des joints en U aussi près que possible. Une astuce qui peut parfois aider à la mise en phase consiste à faire tourner la moitié de l'arbre de transmission 180 & 176 avant de le réinstaller pour voir si cela fait une différence. Souvent, une orientation peut s'équilibrer mieux que l'autre. Une fois que vous avez trouvé le bon alignement, peignez une marque des deux côtés du joug coulissant afin de pouvoir le remettre en place correctement la prochaine fois.

        Pour un arbre de transmission à double cardan, le phasage n'est pas un problème, bien que vous souhaitiez quand même essayer d'aligner les chapeaux de palier.

        Très probablement, si vous avez lu jusqu'ici (ou même recherché cette page), vous pouvez avoir un problème de vibration ou de bruit de la transmission. La règle fondamentale des arbres d'entraînement est qu'ils vibrent à moins que certaines conditions de base ne s'appliquent, telles qu'ils fonctionnent à un angle plat et sont parfaitement équilibrés et d'un diamètre et d'une épaisseur de paroi suffisants pour empêcher le fouettement à grande vitesse.

        La première étape consiste à caractériser la vibration, déterminer quand elle se produit, quand elle s'améliore ou empire, etc.

          Vibrations à vitesse relativement faible (sous

        • Mise en phase
        • Alignement
        • Rectitude, soit en raison d'un arbre neuf qui n'est pas construit droit ou d'un arbre usagé qui est plié.
          • Vous auriez besoin d'un comparateur à cadran pour mesurer un tel faux-rond radial et cela serait probablement mieux fait dans un atelier de transmission, car après le redressement, l'arbre devra probablement également être équilibré.
          • Cela peut également être dû à un joint universel qui n'est pas installé correctement ou à une bride d'arbre d'entraînement qui ne s'ajuste pas correctement, ce qui empêche l'arbre de s'aligner avec l'arbre de sortie ou le pignon.
          • Et réalisez que les arbres de transmission sont généralement redressés par l'utilisation de la chaleur et du froid. L'atelier de transmission utilisera une torche pour chauffer un côté de l'arbre, dilatant l'acier de ce côté, tout en refroidissant le côté opposé avec un chiffon humide pour rétrécir l'acier afin de ramener un arbre dans sa rectitude. Cela dit, toute application de chaleur suffisamment élevée peut entraîner une perte de rectitude de l'arbre.
          • Ces vibrations peuvent aller et venir à mesure que la vitesse augmente à mesure que vous entrez et sortez des fréquences de résonance de l'arbre d'entraînement.
          • Un étrier coulissant se compose généralement d'une section cannelée mâle et femelle qui permet à la longueur de l'arbre de changer lorsque la suspension se déplace.
          • Plus les splines sont écartées, plus l'ajustement sera lâche. À un moment donné, cela peut permettre aux vibrations de "s'échapper" de l'arbre.
          • L'allongement de l'arbre est une solution ou il peut être possible d'ajouter une entretoise d'arbre d'entraînement pour allonger l'arbre.
          • Si c'est pire en montée/accélération, l'angle inférieur du joint universel peut se déplacer trop haut car l'essieu et le pignon basculent sous la charge, si c'est le cas, inclinez l'angle du pignon statique un peu plus bas qu'il ne l'est maintenant.
          • Si la descente/la décélération est pire, l'angle de joint universel inférieur peut se déplacer trop bas lorsque l'essieu et le pignon basculent vers le bas à cause de la charge réduite, si tel est le cas, inclinez l'angle de pignon statique un peu plus haut qu'il ne l'est maintenant.
          • Dans ce cas, seule une nouvelle conception d'arbre de transmission aidera, en changeant le matériau, le diamètre du tube ou l'épaisseur de la paroi, etc.
          • Ces types de limites de régime sont généralement compris entre 8 000 et 10 000 tr/min, et ne sont donc généralement visibles que dans les véhicules de course.

          Si vous soupçonnez des vibrations dans l'arbre de transmission arrière, une façon d'isoler la cause du problème est de retirer l'arbre arrière, de verrouiller les moyeux avant et de tester la conduite en 4H (essentiellement la traction avant), en supposant que votre boîte de transfert et votre système 4WD le permettent. ce mode de fonctionnement. Si les vibrations persistent, vous venez d'éliminer l'arbre arrière comme cause du problème, il s'agit probablement d'un mauvais roulement, d'un essieu tordu, d'une roue / d'un pneu mal rond (ou équilibré), ou de quelque chose dans le moteur ou la transmission. Si les vibrations disparaissent avec la dépose de l'arbre arrière, alors c'est quelque chose dans la transmission arrière qui en est la cause, la sortie de la boîte de transfert, l'arbre arrière (et le bering central si présent), les joints de cardan simples et/ou doubles, le roulement de pignon et le différentiel arrière pourraient tous en être la cause.

          Si c'est le cas, vous voulez probablement le réparer. Comment le résoudre dépend un peu de ce qui a conduit au problème en premier lieu.

          • Si votre arbre de transmission a été endommagé hors route (plié ou cabossé), cela peut également provoquer des vibrations, un problème courant est que les petits poids d'équilibrage sur l'arbre peuvent être éraflés sur un obstacle).
            • Si l'arbre est endommagé, il doit être réparé. Le coût typique d'un redressement/équilibrage est d'environ 60 $.
            • Pour les joints légèrement lâches, essayez de bien graisser le joint et voyez si cela corrige (temporairement) le desserrement et les vibrations.
            • Pour une fourche à glissement lâche, vous pouvez essayer d'injecter de la graisse au niveau du graisseur, mais prenez note de l'endroit où se trouve le raccord par rapport aux cannelures de la fourche.
              • Si vous ne pensez pas que le raccord va graisser la zone des cannelures de l'arbre, marquez l'alignement de l'arbre, séparez la fourche coulissante et utilisez un pinceau pour peindre de la graisse sur les cannelures mâles, puis réinstallez-le en alignant les marques de phasage.
              • Si le graissage de la fourche coulissante aide temporairement à atténuer les vibrations, c'est un indice que vous êtes sur la bonne voie. Il se peut que votre arbre de transmission ait simplement été étiré trop longtemps et que les cannelures ne s'engagent pas complètement ou s'il a fonctionné longtemps à cette position, les cannelures peuvent être usées dans cette position.
                • Dans ces deux cas, en changeant la longueur de l'arbre d'entraînement, avec une entretoise ou en la retubant, vous pouvez obtenir plus d'engagement des cannelures ou une nouvelle section de cannelures mâles et femelles engagées qui peuvent le resserrer.
                • Si cela ne vous aide pas, un nouveau joug coulissant peut être nécessaire.
                • S'ils peuvent être déplacés côte à côte à la main, ils peuvent avoir besoin d'être resserrés ou leurs roulements peuvent être défaillants.
                • Et n'oubliez pas de vérifier les pare-poussière qui sont pressés à l'arrière des brides. Ceux-ci peuvent parfois fonctionner de manière lâche et vibrer/faire du bruit et vous faire penser que vous avez un problème de vibration "réel", mais peut-être pas.

                Donc, en supposant qu'il n'y ait pas de dommages physiques ou de pièces usées, et que vous ayez simplement un problème d'angularité, il existe un certain nombre de façons de le réparer. Fondamentalement, vous voulez corriger les angles. La façon dont vous procédez dépend de plusieurs facteurs :

                1. Comment les angles sont partis en premier lieu
                2. À quel point les angles sont-ils mauvais, surtout si l'angle de fonctionnement est supérieur à 10°
                3. Le type d'arbre de transmission que vous avez actuellement
                4. Quel genre de suspension tu as
                5. Combien de travail voulez-vous faire pour corriger le problème :-)

                Si vous avez une suspension multibras, peut-être avec des ressorts hélicoïdaux, il existe quelques options. Si les liens sont réglables, vous devriez pouvoir corriger les angles avec les ajustements. Si aucun réglage n'est fourni, vous devrez soit vous procurer un lien réglable, soit déplacer les supports de suspension sur l'essieu.

                Si vous avez une suspension à ressort à lames, d'autres options sont disponibles. Parmi les options, citons les cales, les perchoirs à ressort tournés, les manilles à ressort plus longues ou plus courtes ou les changements de transmission. Vous trouverez ci-dessous un tableau des effets courants sur les ascenseurs et la transmission :

                L'ascenseur affecte la direction de la transmission pour incliner le pignon pour corriger les angles
                Type d'ascenseur /
                Arbre de transmission et amp
                Lieu
                Seul
                Cardan
                Arrière
                Seul
                Cardan
                Avant/Av(1)
                Seul
                Cardan
                Avant/Rév(2)
                Double
                Cardan
                Arrière
                Double
                Cardan
                Avant/Av(1)
                Double
                Cardan
                Avant/Rév(2)
                Le printemps Rien Rien Rien Incliner vers le haut Incliner vers le haut Incliner vers le haut
                Bloquer Rien Rien Rien Incliner vers le haut Incliner vers le haut Incliner vers le haut
                Manille Incliner vers le bas Incliner vers le bas Incliner vers le haut Aucun(3) Aucun(3) Incliner vers le haut

                1. Essieu avant avec manilles vers l'avant
                2. Essieu avant avec manilles inversées
                3. L'effet varie en fonction de la longueur du ressort, de la manille et de la longueur de l'arbre de transmission

                L'installation d'une cale entre l'essieu et le ressort est le moyen le plus simple de corriger l'angle de l'arbre de transmission (voici une source en ligne pratique pour les cales d'essieu sur mesure). Mais dans quel sens la cale va-t-elle pour résoudre le problème ? Cela dépend de la configuration du ressort et de l'essieu, à savoir Spring-Over-Axle (SOA) ou Spring-Under-Axle (SUA). Le tableau suivant résume la direction de l'inclinaison du pignon par rapport à la configuration de l'essieu. et dans quel sens le "fat end" de la cale fait face :

                Configuration de l'inclinaison du pignon par rapport à la configuration du ressort
                Inclinaison/Configuration Avant/SUA Avant/SOA Arrière/SUA Arrière/SOA
                EN HAUT En arrière Effronté Effronté En arrière
                VERS LE BAS Effronté En arrière En arrière Effronté

                Il est préférable de visualiser le ressort comme une surface plane fixe sous le véhicule. Ensuite, la cale se placera entre le ressort (en haut ou en bas) et l'essieu, qui doit ensuite pivoter vers le haut ou vers le bas pour aligner le ressort de l'essieu avec l'angle de la cale.

                Conclusion:

                Et, une dernière réflexion sur les vibrations de la transmission, c'est que vous devez considérer l'ensemble de la transmission comme un système. Ce n'est pas juste un seul angle ou un seul morceau de tube ou un seul joint en U, etc. Vous avez l'arbre lui-même, 2 joints ou plus (simple ou double cardan), peut-être un palier de support central et puis une sorte de cannelure de sortie ou bride entraînant l'arbre de la boîte de transmission ou de transfert et une bride similaire au niveau du pignon sur le différentiel. Vous pouvez constater qu'un angle est désactivé, le corriger et constater que la vibration est toujours présente. Il est probable qu'avec l'angle désactivé, cela a induit des vibrations dans l'arbre qui ont conduit à l'usure du ou des joints en U. Vous remplacez donc le(s) joint(s) en U et constatez que la vibration est toujours là. Il se peut que la bride de l'arbre de pignon ait été desserrée par la vibration du désalignement et/ou du joint en U usé, etc. Le fait est donc que vous devez corriger/fixer toute la chaîne cinématique en même temps. le temps de le faire fonctionner correctement en tant que système. Alors ne soyez pas rebutés si vous trouvez un problème, résolvez-le et constatez que le problème est toujours là. Vous avez peut-être résolu la cause première du problème, mais vous avez maintenant d'autres problèmes secondaires (comme des joints en U usés ou des brides desserrées) qui doivent également être remplacés/resserrés.


                La tentative de solution

                Ne pourrais-tu pas simplement écrire :

                2 sinx.cosx = B/2 . Eqn 1 et
                1 - 2.(sinx)^2 = A-C. Éqn 2.

                Ne pourrais-tu pas simplement écrire :

                2 sinx.cosx = B/2 . Eqn 1 et
                1 - 2.(sinx)^2 = A-C. Éqn 2.

                ## an(2x)## et ## an(x)## sont liés. Tout comme ##cos(2x)## et ##cos(x)## et ##sin(2x)## et ##sin(x)##.

                En fait, toutes ces fonctions trigonométriques sont liées les unes aux autres.

                Tout à fait juste - dans l'exemple que vous donnez, résolvez plutôt :

                2 sinx.cosx = 4/√41 . Eqn 1 et
                1 - 2.(sinx)^2 = 5/√41. Éqn 2.

                2 sinx.cosx = -4/√41 . Eqn 1 et
                1 - 2.(sinx)^2 = -5/√41. Éqn 2.

                Les signes de cos et sinus dans la réponse dépendent de l'angle x. Dans cet exemple si 2x [090) alors x ∈ [045) auquel cas sinx et cosx sont tous les deux +.
                Mais si 2x ∈ [180270) alors x ∈ [90 135) auquel cas sinx est + et cosx - .

                Sincères excuses pour l'erreur élémentaire - j'espère que travailler avec un exemple numérique comme celui-ci fournira au PO des informations sur le problème algébrique.

                ## an(2x)## et ## an(x)## sont liés. Tout comme ##cos(2x)## et ##cos(x)## et ##sin(2x)## et ##sin(x)##.

                En fait, toutes ces fonctions trig sont liées les unes aux autres.

                J'ai résolu algébriquement pour sin(2x) en utilisant la relation ci-dessus et j'ai obtenu le côté droit de l'expression que j'ai écrite dans le message original mais c'était pour sin(x) pas sin(2x)

                J'ai résolu algébriquement pour sin(2x) en utilisant la relation ci-dessus et j'ai obtenu le côté droit de l'expression que j'ai écrite dans le message original mais c'était pour sin(x) pas sin(2x)

                Je ne sais toujours pas ce que vous essayez de faire. je laisserais :

                ## an(2x) = frac = D##, puis exprimez ##cos(x), sin(x)## en termes de ##D##.

                J'ai besoin de résoudre pour x strictement en termes de constantes. Ce que vous décrivez est valable pour sin(2x) et cos(2x),


                O = B/2
                A = A-C
                H = carré( (B/2)^2 + (A-C)^2 )

                Ce que je veux, ce sont des expressions pour sinx et cosx

                J'ai besoin de résoudre pour x strictement en termes de constantes. Ce que vous décrivez est valable pour sin(2x) et cos(2x),


                O = B/2
                A = A-C
                H = carré( (B/2)^2 + (A-C)^2 )

                Ce que je veux, ce sont des expressions pour sinx et cosx

                Eh bien, vous devez commencer à considérer les fonctions trigonométriques comme quelque chose de plus général que le rapport des côtés d'un triangle. Bien que, pour ##x < frac<4>##, vous puissiez utiliser une approche géométrique. Ce serait intéressant.

                Pouvez-vous voir qu'il doit y avoir une relation entre ##sin(x)## et ## an(2x)## ? Vous devriez être en mesure de dériver cela en utilisant des identités de trig communes. Rappelez-vous que ##sin^2(x) + cos^2(x) = 1##.

                J'utiliserais la valeur intermédiaire ##D## comme ci-dessus. En fait, c'est ce que Ray vous a montré dans le post #4, où il a utilisé ##R## au lieu de ##D##.


                Voir la vidéo: Formules du double de langle (Novembre 2021).