Des articles

5.4 : Modèles de croissance - Mathématiques


Voici un motif réalisé à partir de carreaux carrés.

Pensez au partage à deux

  • Décrivez comment vous voyez ce modèle se développer. Sois aussi spécifique que possible. Dessinez des images et écrivez une explication pour rendre votre réponse claire.
  • Dites-en le plus possible sur ce modèle de croissance. Pouvez-vous dessiner des images pour étendre le motif?
  • Quelles questions mathématiques pouvez-vous poser sur cette régularité ? Pouvez-vous répondre à l'une d'entre elles ?

Voici quelques images que les élèves ont dessinées pour décrire la croissance de la régularité.

La photo d'Ali

la photo de Michel

La photo de Kelli

Pensez au partage à deux

Décrivez avec des mots comment chaque élève a vu la régularité se développer. Utilisez les images des élèves ci-dessus (ou votre propre méthode pour voir la régularité croissante) pour répondre aux questions suivantes :

  • De combien de tuiles auriez-vous besoin pour construire la 5e figure du motif ?
  • De combien de tuiles auriez-vous besoin pour construire la 10e figure du motif ?
  • Comment pouvez-vous calculer le nombre de carreaux dans n'importe quelle figure du motif ?

Problème 15

Hy a vu le modèle d'une manière différente de tout le monde en classe. Voici ce qu'il a dessiné :

La photo de Hy.

  1. Décrivez avec des mots comment Hy a vu le modèle se développer.
  2. Comment Hy calculerait-il le nombre de tuiles nécessaires pour construire la 10e figure du motif ?
  3. Comment Hy calculerait-il le nombre de tuiles nécessaires pour construire la 100e figure du motif ?
  4. Comment Hy calculerait-il le nombre de tuiles nécessaires pour construire n'importe quelle figure du motif ?

Les prochains problèmes présentent plusieurs modèles de croissance réalisés avec des carreaux. Pour chaque problème sur lequel vous travaillez, procédez comme suit :

  1. Décrivez en mots et en images comment vous voyez le motif se développer.
  2. Calculez le nombre de tuiles dont vous auriez besoin pour construire la 10ème figure du motif. Justifiez votre réponse en fonction de la croissance de la régularité.
  3. Calculez le nombre de tuiles dont vous auriez besoin pour construire la 100e figure du motif.
  4. Décrivez comment vous pouvez déterminer le nombre de carreaux dans n'importe quelle figure du motif. Assurez-vous de justifier votre réponse en fonction de la croissance de la régularité.
  5. Pourrais-tu faire l'une des figures du motif en utilisant exactement 25 carreaux ? Si oui, quel chiffre ? Si non, pourquoi pas ? Justifiez votre réponse.
  6. Pourrais-tu faire l'une des figures du motif en utilisant exactement 100 tuiles ? Si oui, quel chiffre ? Si non, pourquoi pas ? Justifiez votre réponse.

Problème 16

Problème 17

Problème 18

Problème 19

Problème 20


Modèles d'allumettes

L'unité étudie les motifs réalisés à l'aide d'allumettes et de carreaux. La relation entre le nombre du terme d'un motif et le nombre de correspondances que ce terme a, est explorée en vue de trouver une règle générale qui peut être exprimée de plusieurs manières.

  • Prédisez le prochain terme d'un modèle spatial.
  • Trouvez une règle pour donner le nombre de correspondances dans un terme donné de la régularité.
  • Trouvez le membre du modèle qui a un nombre donné de correspondances.

Cette unité construit le concept d'une relation en utilisant des modèles de croissance réalisés avec des allumettes. Une relation est un lien entre la valeur d'une variable (quantité variable) et une autre. Dans le cas des modèles d'allumettes, la première variable est le terme, c'est-à-dire le numéro d'étape de la figure, par ex. Le terme 5 est le cinquième chiffre de la tendance croissante. La deuxième variable est le nombre de correspondances nécessaires pour créer la figure.

Les relations peuvent être représentées de plusieurs manières. Le but des représentations est de permettre la prédiction d'autres termes, et la valeur correspondante de l'autre variable, dans un modèle croissant. Par exemple, des représentations peuvent être utilisées pour trouver le nombre de correspondances nécessaires pour construire le dixième terme du modèle. Les représentations importantes comprennent :

  • Tables de valeurs
  • Règles des mots pour le nième terme
  • Équations qui symbolisent les règles des mots
  • Graphiques sur un plan numérique

De plus amples détails sur le développement de représentations pour les modèles de croissance peuvent être trouvés aux pages 34-38 du livre 9: Teaching Number through Measurement, Geometry, Algebra and Statistics.

Liens vers la numératie

Cette unité donne l'occasion de se concentrer sur les stratégies utilisées par les élèves pour résoudre des problèmes numériques. Les modèles d'allumettes sont tous basés sur des relations linéaires. Cela signifie que l'augmentation du nombre de correspondances nécessaires pour le terme « prochain » est un nombre constant ajouté au terme précédent.

Encouragez les élèves à réfléchir aux régularités linéaires en se concentrant sur les différentes stratégies qui peuvent être utilisées pour calculer des nombres successifs dans la régularité. Par exemple, le motif du tracé triangulaire composé de 9 allumettes peut être vu de différentes manières :
3 + 2 + 2 + 2
1 + 2 + 2 + 2 + 2
3 + 3 X 2
1 + 4 X 2

Questions pour développer la réflexion stratégique :

  • Quels nombres pourrais-tu utiliser pour décrire la façon dont le motif est fait et comment il grandit ?
  • Que vous disent les nombres et les opérations sur la régularité ?
  • Dans quel ordre effectuons-nous les calculs comme 3 + 3 x 2 ? (Notez l'ordre des opérations)
  • Les expressions sont-elles les mêmes d'une certaine manière ? Par exemple, en quoi 3 + 2 + 2 + 2 est-il identique à 3 + 3 x 2 ?
  • Quelles expressions sont les moyens les plus efficaces pour calculer le nombre de correspondances ?

Les stratégies de représentation et de prédiction aideront les étudiants à s'engager dans les formes plus traditionnelles de l'algèbre à des niveaux supérieurs.

Les opportunités d'apprentissage dans cette unité peuvent être différenciées en fournissant ou en supprimant un soutien aux étudiants et en variant les exigences des tâches. Les moyens de soutenir les étudiants comprennent :

  • fournir des allumettes pour que les élèves puissent construire les modèles de croissance
  • utiliser la couleur pour mettre en évidence les éléments répétitifs dans les diagrammes des modèles de croissance
  • alléger les exigences de calcul en fournissant des calculatrices
  • la modélisation, la création de tableaux et d'autres moyens pour les étudiants d'enregistrer leurs demandes de travail et de facilité sur leur mémoire de travail.

Les tâches peuvent être variées de plusieurs manières, notamment :

  • réduire la « distance » des termes impliqués, en particulier en prédisant le nombre de correspondances pour des termes faciles à construire et à vérifier
  • réduire la complexité des motifs, par ex. augmentant par deux, trois et cinq plutôt que six, douze, etc.
  • regroupement collaboratif pour que les élèves puissent soutenir les autres
  • réduire les demandes pour un produit, par ex. présentation orale plutôt que beaucoup de calculs et de mots.

Le contexte de cette unité peut être adapté en fonction des intérêts et des origines culturelles de vos élèves. Les jumelages sont une ressource bon marché et accessible, mais peuvent ne pas intéresser vos élèves. Ils pourraient être plus intéressés par d'autres objets fins tels que des feuilles ou des lignes sur du tissu tapa (kapa). Vous pourriez trouver des motifs de croissance dans les frises sur les bâtiments de la communauté. Soyez conscient des opportunités d'apprentissage qui se connectent aux expériences quotidiennes de vos élèves.

  • S'accorde avec les têtes brûlées, ou les cure-dents, les bâtonnets de glace, les bâtonnets de pépinière, les brochettes de bambou taillées, etc.
  • Du papier à points comme alternative à l'utilisation d'allumettes
  • PowerPoint Un

Remarque : Tous les modèles utilisés dans cet appareil sont disponibles dans PowerPoint 1 pour permettre un partage facile avec un projecteur de données ou similaire.

Session 1: Chemins triangulaires

Dans cette session, nous examinons un modèle simple créé en assemblant des allumettes pour former un chemin connecté de triangles.

  1. Introduisez la session en disant aux élèves que Kiri a fait les chemins d'allumettes suivants en utilisant 1, 2 et 3 triangles - elle les a appelés un chemin à 1 triangle, un chemin à 2 triangles et un chemin à 3 triangles. Notez que 1, 2 et 3 sont les nombres de termes dans la régularité de Kiri.
  2. Demandez aux élèves d'utiliser la méthode de Kiri pour tracer un chemin de 4 puis de 5 triangles.
    Combien de supplémentaire des correspondances seraient nécessaires pour créer un chemin à 6 triangles ? Un chemin à 7 triangles ?
    De combien de correspondances Kiri aurait-il besoin pour tracer un chemin de 20 triangles ?
  3. Laissez les élèves calculer le nombre de correspondances nécessaires pour le 20e trimestre. Utilisez penser, jumeler, partager pour permettre aux élèves de comparer leurs stratégies.
  4. Kiri a remarqué que si elle réorganisait les correspondances, elle pouvait les compter assez rapidement. L'image suivante montre comment elle les a réarrangés.

    Comment fonctionne la méthode de Kiri ?.
    Comment Kiri réorganiserait-il un chemin à 7 triangles ?
    Quelle expression écrirait-elle pour montrer son calcul ? (1 + 7 x 2 ou 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2)
  5. Dites à la classe que Kiri dit qu'en utilisant sa méthode, elle peut voir un raccourci pour compter le nombre d'allumettes nécessaires pour faire un chemin de 10 triangles. Demandez-leur d'écrire, en utilisant des images à l'appui de leur explication, ce que pourrait être la méthode de raccourci de Kiri.
  6. Appelons la méthode de Kiri, La règle de Kiri. Demander:
    En utilisant la règle de Kiri, combien de correspondances seront nécessaires pour créer un chemin de 20 triangles ?
    Inversez le problème en posant la question suivante : quel chemin Kiri peut-il faire avec 201 matchs ?
  7. Laissez aux élèves le temps de développer une réponse et de comparer leurs stratégies.
    • Les élèves qui s'appuyaient sur des additions répétées adoptent-ils des stratégies multiplicatives avec une demande accrue ?
    • Les élèves sont-ils capables de reconnaître que le nombre de termes est requis, pas le nombre de correspondances ?
    • Les élèves peuvent-ils « annuler » leurs règles précédentes pour trouver le numéro du terme ?
  8. L'ami de Kiri, Jamie, a organisé ses matchs différemment. Ses photos ressemblaient à ça :

    Quel est La règle de Jamie?
    Quelle est l'image de Jamie pour un chemin à 12 triangles ?
    Quelle expression Jamie pourrait-il écrire pour le chemin des 12 triangles (Terme 12)
    En quoi 3 + 2 + 2 + …+ 2 et 3 + 11 x 2 sont-ils identiques ?
  9. Jamie dit qu'en utilisant sa méthode, il peut voir un autre raccourci pour compter le nombre de correspondances nécessaires pour créer un chemin de 10 triangles. Demandez à la classe d'écrire, en utilisant des images pour appuyer leurs explications, quelle est la stratégie de Jamie.
    Combien de correspondances seront nécessaires pour faire un chemin de 20 triangles ?
    Quel chemin Jamie peut-il parcourir avec 201 matchs ?
  10. Demandez aux élèves d'expliquer en quoi la règle de Kiri est différente et identique à la règle de Jamie.
  11. Demandez à la classe : Comment Kiri et Jamie expliqueraient-ils à quelqu'un d'autre comment ils pourraient trouver le nombre de correspondances nécessaires pour créer un chemin composé de n'importe quel nombre, disons 1000, de triangles ?

Vey-un a une autre façon de calculer le nombre de correspondances pour un motif à 10 triangles. Il écrit 10 x 3 – 9 et obtient le même nombre de correspondances que Kiri et Jamie, 21 ans.

Demandez aux élèves d'expliquer comment fonctionne la stratégie de Vey-un. A quoi se réfèrent les nombres dans son calcul ?

[Vey-un imagine dix triangles complets qui nécessitent 10 x 3 = 30 allumettes à construire. Il imagine que les dix triangles se rejoignent et que cela crée neuf chevauchements. Il soustrait neuf de 30 pour tenir compte des matchs qui se chevauchent.]

Séance 2: Chemins Carrés

Ici, nous examinons un motif simple créé en assemblant des allumettes pour former un chemin de carrés connecté.

  1. En suivant la même procédure générale que ci-dessus, permettez aux élèves d'explorer des façons de compter le nombre d'appariements nécessaires pour faire des chemins carrés. Présentez aux élèves l'image suivante.

  1. Demandez à vos élèves de construire un chemin de 4 et 5 carrés avec des allumettes ou en dessinant. Concentrez-vous sur le nombre de correspondances supplémentaires ajoutées à chaque fois. Où se trouvent les correspondances supplémentaires ?
  2. Demandez à vos élèves comment ils pourraient développer un moyen rapide et facile de trouver le nombre de correspondances nécessaires pour faire un chemin de 20 carrés.
    Que feraient Kiri, Jamie et Vey-un pour ce motif carré ?
  3. Laissez les élèves travailler en groupes de deux ou trois. Demandez aux groupes de faire une image montrant comment le chemin de 20 carrés est fait. Ils peuvent expérimenter avec les matchs et enregistrer leurs images. Avez-vous besoin de dessiner chaque carré ?
    N'y a-t-il qu'une seule façon de voir le modèle ?
    À quoi pourraient ressembler certaines des autres façons ?
  4. Certaines images seront très utiles pour compter le nombre d'allumettes nécessaires pour faire un chemin de 20 carrés – d'autres non. Demandez aux élèves de choisir l'image qui, à leur avis, explique le mieux comment les chemins carrés successifs sont constitués ET donne une méthode rapide et facile pour compter les correspondances nécessaires pour un chemin de 20 carrés. Notez la nature fastidieuse de dessiner des carrés à plusieurs reprises et d'ajouter à plusieurs reprises trois correspondances.
    Quelle est la manière la plus efficace de dessiner ou de calculer le nombre total de matchs ?
  5. Demandez aux élèves d'utiliser leur « meilleure méthode » pour vérifier qu'il y a 61 correspondances nécessaires pour créer un chemin de 20 carrés.
  6. Comparez la façon dont les règles pourraient être écrites :
    Kiri [1 + 20 x 3] Jamie [4 + 19 x 3 Vey-un [20 x 4 – 19]
  7. Les élèves peuvent utiliser ces méthodes ou leurs propres méthodes pour prédire le nombre de correspondances nécessaires pour créer des chemins de 14, 36 et 100 carrés.
  8. Demandez-leur d'écrire comment ils utiliseraient leur méthode pour compter le nombre de correspondances nécessaires pour faire un chemin carré composé de n'importe quel chiffre de carrés, disons 1000 carrés. Selon le confort des élèves avec leurs règles, vous pouvez utiliser la notation algébrique pour représenter le mot règles :
    Kiri [1 + 3n] Jamie [4 + 3 (n-1] Vey-un [4n – (n-1)]
  9. Inversez les problèmes afin que les élèves doivent trouver le nombre de termes pour un nombre donné de correspondances.
    Combien y a-t-il de carrés dans un chemin carré avec 31, 304 et 457 correspondances ?
    Combien de correspondances restera-t-il si vous créez le plus grand chemin carré possible avec 38, 100 et 1000 correspondances ?
  10. Les élèves sont-ils capables de « défaire » leurs règles de recherche des termes manquants ?
    Kiri calcule « Un plus trois fois le nombre de termes » pour trouver le nombre de correspondances.
    Si Kiri connaît le nombre de correspondances, comment devrait-elle annuler sa règle pour trouver le nombre de termes ? [Notez que l'ordre d'annulation est important, soustrayez un puis divisez par trois.]

Séance 3: Chemins de la maison

Les idées apprises au cours des deux dernières sessions sont renforcées ici en utilisant des « chemins de la maison ».

  1. Utilisez les techniques développées au cours des deux dernières sessions pour explorer le problème suivant :
    Un nouveau chemin d'allumettes est en cours de conception. Cela s'appelle un chemin de la maison. Les trois premiers termes sont présentés ci-dessous. Développez une règle de comptage, c'est-à-dire un raccourci pour compter le nombre de correspondances nécessaires pour créer un chemin de 1000 maisons.
  2. Demandez aux élèves d'illustrer comment ils ont élaboré leur règle de comptage. Ils pourraient le faire en utilisant des images, des mots ou des chiffres (ou une combinaison de ceux-ci).
    Avez-vous besoin de dessiner chaque maison?
    Avez-vous besoin d'ajouter 999 fois ?
    Que pensez-vous que Kiri, Jamie et Vey-un pourraient faire avec ce modèle ?
  3. Demandez à la classe de discuter des différentes approches qui ont été utilisées et des méthodes qui ont été obtenues.
  4. Laissez le temps à la classe de rédiger ses conclusions sur les stratégies les plus efficaces.
  1. Latitia a 503 matchs. Combien de maisons sont sur son chemin si elle utilise toutes les allumettes ? Lui restera-t-il des allumettes ?

Séance 4 : Quel est mon chemin ?

Les idées des trois premières sessions sont prolongées et renforcées dans un autre contexte. Cette fois, le problème donne une règle et les élèves trouvent la régularité.

  1. Donnez aux élèves le problème suivant :
    Mon ami a fait une photo qui montrait comment son cinquième chemin d'allumettes avait été fait. Elle l'a nommé :
    5 lots de 4 et ajouter 2 (c'était la règle de comptage utilisée pour faire le chemin)
    Elle me l'a envoyé par e-mail. Cependant, je n'ai pu lire que le nom du chemin et ne pas voir la photo !
    Faites quelques photos possibles qu'elle aurait pu envoyer.
  2. Il convient de noter qu'il existe de nombreuses réponses à cela. Ainsi, même si deux groupes obtiennent une réponse différente, ils peuvent toujours avoir raison tous les deux.
    Nous avons beaucoup d'images différentes qui correspondent à la règle des mots. En quoi sont-ils différents et en quoi sont-ils identiques ?
    [La propriété commune est que le motif commence par deux correspondances et s'appuie sur quatre correspondances pour chaque forme supplémentaire]
  3. Des exemples pourraient être :

  4. Laissez le temps à la classe à la fois de faire rapport et de discuter de leurs solutions, et d'écrire ce qu'ils ont découvert.
  5. Demander: Si mon amie voulait construire un n-chemin, de combien de correspondances aurait-elle besoin ? N signifie n'importe quel nombre que vous lui donnez, disons 1000, 53 ou 214.
  6. Un autre ami a envoyé cette règle n. Pouvez-vous dessiner un motif qui correspond à sa règle ?
    "n moins un puis multiplié par cinq puis ajoutez six"
    A quoi pourrait ressembler le motif ?
    Une réponse possible est :

Séance 5: Autres façons de voir les choses

Dans cette session, le concept de relation est exploré avec un schéma spatial plus compliqué.

  1. Montrez à la classe le modèle ci-dessous qui est composé d'allumettes. Les 1er, 2e et 3e termes de la séquence sont affichés.
  2. Mettez les élèves au défi avec ce problème :
    Trouvez de nombreuses façons différentes de calculer le nombre total de matchs dans la période 10.
  3. Rappelez aux élèves comment Kiri, Jamie et Vey-un ont représenté leurs modèles, y compris les règles qui fonctionnent pour n'importe quel terme.
  4. Laissez les élèves travailler par paires ou par trois. Assurez-vous qu'ils enregistrent leur réflexion à l'aide de diagrammes et d'expressions. Vos élèves :
    • Recherchez la croissance entre les termes, c'est-à-dire 12 correspondances.
    • Créer des tableaux de valeurs pour représenter le nombre de correspondances pour chaque terme
    • Utiliser des stratégies multiplicatives pour prédire le nombre de correspondances pour le terme 10
  5. Rassemblez la classe pour traiter les idées. Mettre en évidence l'efficacité des stratégies multiplicatives telles que 10 x 12 - 8 et 4 + 9 x 12 par rapport aux stratégies additives comme 4 = 12 + 12 + …
  6. Demander aux élèves de relier les nombres et les opérations de leurs expressions à la régularité figurative des correspondances.
    Pourquoi le nombre de matchs augmente-t-il de 12 à chaque trimestre ?
    Combien y aura-t-il de groupes de 12 matches dans le 10e mandat ?
    Pourquoi Kiri soustrait-il 4 à la fin ?
  7. Comment nos règles pourraient-elles être utilisées pour prédire le nombre de matchs nécessaires pour la période 23 ? Terme 101 ? Terme n?
  8. Si Taylor utilise 604 correspondances pour construire une figure dans ce modèle, quel terme crée-t-elle ?
  9. Pour évaluer la capacité des élèves à faire personnellement des prédictions et à créer des règles générales, posez cette tâche d'évaluation.
    Voici un modèle d'étoiles en croissance réalisé avec des allumettes.

    Combien de matchs sont nécessaires pour faire Terme 15, qui a 15 étoiles ?
    Pouvez-vous écrire une règle pour le nombre de correspondances nécessaires pour faire Term n, n'importe quel terme ?
    Si vous avez 244 correspondances, quel est le plus grand nombre d'étoiles que vous pouvez créer dans ce modèle ?

Cette semaine en maths nous nous sommes penchés sur les régularités faites avec les allumettes Nous avons regardé le premier terme, le deuxième terme, … le dixième terme, … et ainsi de suite et avons essayé de trouver une relation entre le nombre d'allumettes et le nombre de terme . Par exemple, nous avons exploré ce modèle avec des correspondances :

Demandez à vos élèves d'expliquer comment ils pourraient prédire le nombre de correspondances dans un chemin de dix maisons. Que peuvent-ils partager d'autre avec vous sur le modèle ?


Matériaux nécessaires

1. Regardez le modèle ci-dessous.

Quelles sont les deux formes suivantes ?

2. Regardez le modèle ci-dessous.

Quelles sont les trois prochaines formes ?

3. Regardez le modèle ci-dessous.

Quelles sont les deux formes suivantes ?

Exemple : regardez le modèle ci-dessous.

Le motif commence par 1. La règle est d'ajouter 3.

Quels sont les 2 prochains nombres de la régularité ? 19, 22

Notez que 19 est un nombre impair et 22 est un nombre pair.

Notez qu'une caractéristique de ce modèle est un nombre impair puis un nombre pair.

Le motif commence par 1. La règle est d'ajouter 2.

Quels sont les 2 prochains nombres de la régularité ? 13, 15

Quelle est la particularité de ce modèle ? Tous les nombres sont impairs.

Le motif commence par 2. La règle est d'ajouter 2.

Quels sont les 2 prochains nombres de la régularité ? 14, 16

Quelle est la particularité de ce modèle ? Tous les nombres sont pairs.


Modèles de nombres ou de formes (niveau 4)


Vidéos, exemples, solutions et leçons pour aider les élèves de 4e année à apprendre à générer un nombre ou un modèle de forme qui suit une règle donnée. Identifiez les caractéristiques apparentes du modèle qui n'étaient pas explicites dans la règle elle-même.

Par exemple, étant donné la règle &ldquoAdd 3&rdquo et le numéro de départ 1, générez des termes dans la séquence résultante et observez que les termes semblent alterner entre les nombres pairs et impairs. Expliquez de manière informelle pourquoi les nombres continueront à alterner de cette manière.

Objectifs d'apprentissage suggérés

  • Je peux générer un modèle qui suit une règle donnée.
  • Je peux identifier des modèles supplémentaires au sein d'un modèle qui vont au-delà de la règle.

Modèles de nombres

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Motifs et expressions

Cette question est plutôt générale, je n'en aborderai donc qu'un petit fragment.

Explication:

Comment identifier des régularités et les exprimer sous forme d'expressions algébriques ?

Par exemple, étant donné la séquence #1, 4, 10, 20, 35, 56#

Quel est le modèle ? Comment trouvez-vous le numéro suivant dans la séquence ? Quelle est la formule du terme #n^(th)# dans la séquence ?

Avec ce genre de problèmes, il est souvent utile de construire une séquence de différences entre les termes successifs, en répétant ce processus pour voir si vous vous retrouvez avec une séquence constante.

#1, 4, 10, 20, 35, 56#
# -> 3, 6, 10, 15, 21#
# -> 3, 4, 5, 6 #
# -> 1, 1, 1 #

Puisqu'il a fallu #3# étapes pour arriver à une séquence constante, la séquence d'origine est exprimable sous forme d'expression cubique.

Nous pouvons construire directement la formule pour #a_n# à partir du premier terme de chacune de ces séquences comme :

#a_n = couleur(rouge)(1) + couleur(rouge)(3) * n/(1!) + couleur(rouge)(3) * (n(n-1))/(2!) + couleur( rouge)(1) * (n(n-1)(n-2))/(3!)#

J'aime bien cette variante discrète du théorème de Taylor.

Cette approche ne fonctionnera pas bien avec la suite de Fibonacci, car elle est essentiellement exponentielle et non polynomiale.

#0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34#
#-> 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13#
#-> -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5#
#-> 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2#
#-> -3, 2, -1, 1, 0, 1#
#-> 5, -3, 2, -1, 1#
.

Mais il est possible de trouver une formule pour #F_n# , à savoir

Même la zone des séquences numériques est trop grande pour donner une réponse complète.

Cela varierait en fonction de ce que l'on entend par "somme", "différence" et "produit". À part cette exception, somme, différence, produit et quotient ne sont que des mots sophistiqués pour additionner, soustraire, multiplier et diviser respectivement.
Il y a les symboles simples : #a+b,a-b,axxb, a-:b# (ou #a/b# ).
Il existe un symbole spécial pour la différence utilisé dans certaines équations mathématiques et scientifiques : #Deltax#
Cela signifie qu'il existe une valeur finale et une valeur initiale #x#. Vous soustrait simplement la finale et l'initiale pour obtenir le changement ou la différence.

Ceci est utilisé dans l'équation pour trouver la pente d'une ligne:
#(Deltax)/(Deltax)#

#(y_2-y_1)/(x_2-x_1)#
Cela signifie que vous soustrayez les points de coordonnées y et les points de coordonnées x sur une ligne pour trouver la pente.

Il existe également un symbole spécial pour les additions et les produits, et cela peut prêter à confusion :

C'est le symbole pour additionner une fonction de #n# notée comme un sigma majuscule
Le numéro du bas noté #n# est le numéro de départ.
Le numéro du haut est le numéro de fin.
Vous branchez ensuite #n# pour chaque nombre jusqu'à 10 et les additionnez.
La réponse à l'opération de sommation ci-dessus est 55.

C'est le symbole du produit indiqué par un pi majuscule (ce n'est PAS #3.14159265. # pi, c'est en minuscule) . Les mêmes règles de sommation s'appliquent aux produits, mais vous multipliez au lieu d'additionner. La réponse au produit ci-dessus est 3 628 800.

C'est aussi la réponse à #10 !# Notez que #n# commence à 1 et non à 0 dans le produit.

En ce qui concerne un symbole de quotient spécial, je ne suis pas sûr à 100% qu'une telle chose existe.


L'unité n'a pas beaucoup changé par rapport au CMP2. La notation scientifique a été introduite dans Investigation 1 et les compétences d'utilisation et d'interprétation de la notation scientifique sont renforcées tout au long de l'unité. Notez que le CCSS pour les mathématiques requiert des règles d'opérations pour les exposants entiers. Étant donné que CMP3 s'efforce également de répondre aux normes de l'algèbre secondaire 1, les règles pour les opérations avec des exposants rationnels sont incluses.

Le problème 1.4 qui compare les schémas de croissance exponentielle et linéaire a été combiné avec le problème 1.3

Les enquêtes 2, 3 et 4 restent les mêmes, à l'exception des révisions mineures suggérées par les examens du CMP 2.

L'enquête 5 a été réorganisée pour se concentrer sur les règles des exposants, d'abord les exposants intégraux puis rationnels, et les expressions équivalentes qui utilisent des exposants. L'unité se termine par une exploration des effets des taux de croissance et des ordonnées à l'origine sur les graphiques des fonctions exponentielles.


Plan de l'unité Modèles et relations

La 6e année est un échelon de difficulté pour les élèves. C'est pourquoi ils ont besoin du soutien de ressources comme un cahier interactif de mathématiques qu'ils peuvent utiliser ou même simplement plus de tutorat. Il est également important de fixer des objectifs à la fois pour vous et pour l'élève.

Objectifs de ce cours :

Les objectifs de ce cours de mathématiques de 6e année comprennent :

  • apprendre les mathématiques en résolvant des problèmes du monde réel de manière amusante et engageante,
  • acquérir une compréhension approfondie des grandes idées en mathématiques en créant une solide communauté de discussion sur les mathématiques pour l'apprentissage coopératif, et
  • accroître la confiance de l'élève en mathématiques pour accroître la confiance des parents/du public dans le système d'éducation de l'Ontario.

Objectifs d'apprentissage pour cette unité :

Les objectifs d'apprentissage de cette unité de mathématiques de 6e année sur les régularités et les relations pour les élèves sont les suivants :

  • acquérir une compréhension approfondie des motifs géométriques grâce à l'investigation,
  • représenter des motifs géométriques avec des mots, un tableau et un graphique,
  • déterminer un terme, étant donné son nombre de termes en étendant des schémas croissants et décroissants.

Questions des étudiants & Connaissances préalables :

Afin d'évaluer les connaissances antérieures des élèves sur les modèles et les relations, l'enseignant créera différents groupes hétérogènes d'élèves en fonction du niveau et attribuera un modèle différent à chaque groupe. Les groupes seront ensuite invités à avoir une discussion dans leur groupe sur le(s) modèle(s) attribué(s) :

  • À quoi cela ressemble-t-il?
  • Est-ce qu'il grandit ou diminue?
  • Que pouvez-vous dire aux autres membres du groupe qui leur permettrait de recréer le motif sans le voir réellement ?

Modèles pouvant être utilisés :



Après 5 minutes de discussion, les groupes partageront ensuite leur(s) modèle(s) avec le reste de la classe pour tenter de demander aux autres groupes de recréer le modèle qu'ils décrivent.

Principe des 12 principes d'enseignement pour un apprentissage de qualité souligné :

Les principes d'enseignement pour un apprentissage de qualité que je soulignerai au cours de cette unité sont :

  • 5. Promouvoir un discours exploratoire, provisoire et hypothétique.
  • 12. Promouvoir l'évaluation dans le cadre du processus d'apprentissage.

Bien qu'il soit très important de mettre l'accent sur les 12 principes en classe, je pense que la création d'une communauté de discussion sur les mathématiques est très importante pour maintenir le niveau d'engagement des élèves et responsabiliser les élèves en leur offrant des opportunités de réfléchir profondément et de défendre leurs croyances mathématiques ( vrai ou faux). En évaluant quotidiennement et en promouvant ces évaluations dans le cadre du processus d'apprentissage, les élèves sont motivés à rester un participant actif de la classe. Cette approche de l'évaluation indique à l'élève que les évaluations ne sont pas seulement un outil pour déterminer qui a une compréhension approfondie, mais plutôt pour permettre à chaque élève de prendre les prochaines étapes pour approfondir sa propre pensée mathématique.

Ressources:

Les ressources varieront de la technologie iPad pour les enquêtes, les tâches individuelles et la journalisation, ainsi que pour les activités d'évaluation de type clicker/consolidation pour déterminer les points d'entrée ainsi que la profondeur de compréhension d'un nouveau concept par les étudiants. Le travail de groupe sera effectué à l'aide de l'application Baiboard Collaboration s'il est effectué numériquement ou sur papier graphique pour les activités de napperon/bansho. Les objets de manipulation concrets et numériques seront toujours promus quotidiennement pour une utilisation lors de l'enquête et de la réalisation de tâches.

Attentes explorées au cours de cette unité :

  • identifier des motifs géométriques, par l'investigation à l'aide de matériaux concrets ou de dessins, et les représenter numériquement
  • faire des tableaux de valeurs pour les régularités croissantes, en fonction des règles de régularité en mots (par exemple, commencer par 3, puis doubler chaque terme et ajouter 1 pour obtenir le terme suivant), puis lister les paires ordonnées (avec la première coordonnée représentant le nombre de terme et le deuxième coordonnée représentant le terme) et tracer les points dans le premier quadrant, en utilisant une variété d'outils (par exemple, papier millimétré, calculatrices, logiciel statistique dynamique)
  • déterminer le numéro de terme d'un terme donné dans une régularité croissante qui est représentée par une règle de régularité en mots, une table de valeurs ou un graphique (exemple de problème : pour la règle de régularité « commencer par 1 et ajouter 3 à chaque terme pour obtenir le prochain terme », utilisez un graphique pour trouver le numéro du terme lorsque le terme est 19.)
  • décrire des règles de régularité (en mots) qui génèrent des régularités en ajoutant ou en soustrayant une constante, ou en multipliant ou en divisant par une constante, pour obtenir le terme suivant (par exemple, pour 1, 3, 5, 7, 9, …, la règle de régularité est « commencer par 1 et ajouter 2 à chaque terme pour obtenir le terme suivant »), puis distinguer ces règles de modèle des règles de modèle, exprimées en mots, qui décrivent le terme général en se référant au nombre de termes (par exemple, pour 2, 4, 6, 8, …, la règle de régularité pour le terme général est « doubler le nombre de termes »)
  • déterminer un terme, étant donné son numéro de terme, en étendant des régularités croissantes et décroissantes qui sont générées en ajoutant ou en soustrayant une constante, ou en multipliant ou en divisant par une constante, pour obtenir le terme suivant (exemple de problème : pour la régularité 5000, 4750, 4500 , 4250, 4000, 3750, …, trouvez le 15ème terme. Expliquez votre raisonnement.)

Leçon 1 : Identifier & les motifs géométriques représentatifs

Fonctionnalités de la leçon Détails
Les sujets Les objectifs d'apprentissage de cette leçon consistent à demander aux élèves d'identifier des motifs géométriques et de représenter ces motifs numériquement, par le biais d'enquêtes.
Attentes identifier des motifs géométriques, grâce à des recherches à l'aide de matériaux concrets ou de dessins, et les représenter numériquement
Activités d'apprentissage & Approche pédagogique Cette leçon sera dirigée en utilisant l'approche de la leçon en trois parties.

Esprits sur :
Les élèves travailleront par paires pour compléter un esprit sur l'utilisation des différents modèles fournis par l'enseignant. Étant donné qu'il s'agit de la première leçon présentant les modèles et les relations, la question sera ouverte :

Est-ce que vous pouvez voir un motif? Si c'est le cas, essayez de représenter le motif en utilisant la méthode de votre choix.

Les paires partageront avec la classe pour communiquer verbalement leur compréhension.

Action:
Grâce à la discussion en classe qui découle du partage Minds On, l'enseignant présentera ensuite un modèle unique à analyser pour la classe. Dans des groupes de tableaux hétérogènes, les élèves tenteront de représenter la régularité en utilisant la méthode de leur choix, comme ils l'ont fait dans la partie Minds On. Après le partage, la classe aidera à regrouper les méthodes de représentation du motif géométrique (tableau, graphique, mots, etc.) et commencera à discuter de la méthode de représentation du motif à l'aide de nombres via un tableau.

Leçon n°2 : Représenter des régularités dans un tableau de valeurs et représenter graphiquement

Fonctionnalités de la leçon Détails
Les sujets Les objectifs d'apprentissage de cette leçon consistent à demander aux élèves de prendre une règle de régularité dans les mots, de créer une table de valeurs et de représenter graphiquement les coordonnées sur une grille.
Attentes faire des tableaux de valeurs pour les régularités croissantes, en fonction des règles de régularité en mots (par exemple, commencer par 3, puis doubler chaque terme et ajouter 1 pour obtenir le terme suivant), puis lister les paires ordonnées (avec la première coordonnée représentant le nombre de terme et le deuxième coordonnée représentant le terme) et tracer les points dans le premier quadrant, en utilisant une variété d'outils (par exemple, papier millimétré, calculatrices, logiciel statistique dynamique)
Activités d'apprentissage & Approche pédagogique Cette leçon sera dirigée en utilisant l'approche de la leçon en trois parties.

Minds On – Réfléchissez, associez, partagez :
Pense
Les élèves travailleront individuellement pour dessiner au moins trois figures qui suivent une régularité. Étant donné que les élèves ont eu l'expérience dans la leçon précédente d'identifier des motifs ainsi que de représenter des motifs avec des nombres, ils seront invités à faire preuve de créativité pour créer leur propre motif géométrique en utilisant toutes les formes qu'ils aiment :

En utilisant tout du matériel de manipulation mathématique ou d'autres objets dans notre classe, créez votre propre modèle avec un minimum de trois chiffres. Soyez prêt à partager votre modèle avec un partenaire et à expliquer comment votre modèle fonctionne avec des mots et des chiffres.

Paire
Après environ 10 minutes, l'enseignant organisera les élèves avec des partenaires en fonction d'un regroupement flexible de leur choix.

Partager
Les élèves partageront leur modèle avec leur partenaire.

L'enseignant peut demander à des volontaires de partager le modèle créé par leur partenaire, pour s'assurer que chaque élève a acquis une compréhension de chaque modèle créé.

Action:
Dans les paires actuelles ou toute autre option de regroupement flexible déterminée par l'enseignant, chaque paire d'élèves recevra des règles de régularité en mots pour identifier si une régularité existe, créer un diagramme pour les trois premières figures, montrer la régularité dans un tableau de valeurs et enfin créer des coordonnées pour représenter graphiquement sur une grille.

Chaque ensemble de règles de modèle dans les mots peut avoir des instructions telles que celle-ci :

  1. Dessinez les trois premières figures de ce motif,
  2. créer une table de valeurs correspondante,
  3. lister les coordonnées de la table, et
  4. graph your pattern on a grid.

Once each pair has completed their task, the teacher will number off each pair. If there are 10 pairs, the teacher will number the pairs 1 to 5. Pair #1’s will group together at a table and share their work with the other pair and visa versa. Each pair will have the task of assessing the completed task of the other and provide peer feedback to make any required changes.

Lesson #3: Finding Term Number Given Term Value

Lesson Features Détails
Les sujets The learning goals for this lesson include finding the term number of a given term in a variety of situations including: pattern rules in words, tables of values, and graphs.
Attentes determine the term number of a given term in a growing pattern that is represented by a pattern rule in words, a table of values, or a graph (Sample problem: For the pattern rule “start with 1 and add 3 to each term to get the next term”, use graphing to find the term number when the term is 19.)
Learning Activities & Pedagogical Approach This lesson will be led using the three-part lesson approach.

Minds On – Relay Race
Using flexible grouping determined by the teacher, each group will have a number. On the board, there will be a list of cards taped under each group number.

When the relay begins, a student from each group will go to the board to get their first card. Each card will have a different representation of a unique geometric pattern on it (pattern rules in words, tables of values, and graphs). In their group, students will work together to find the term number of a term value indicated on their card.

Once the students have found the corresponding term number for that term value and have shown the method they used to find it, they will stick the completed task on the board under their group column and grab the next card.

Students will compete in a friendly math game to complete all of the cards listed on the board. Each group will have to present their pattern cards and explain what they did to find the corresponding term number to the required value on the card.

Action:
In the current groups, students will be required to create their own pattern cards for each pattern representation type (words, table, graph).

Lesson #4: Representing Patterns Using Rules in Words

Lesson Features Détails
Les sujets The learning goals of this lesson include understanding the pattern rules in words that create patterns by adding, subtracting, multiplying or dividing a constant.
Attentes describe pattern rules (in words) that generate patterns by adding or subtracting a constant, or multiplying or dividing by a constant, to get the next term (e.g., for 1, 3, 5, 7, 9, …, the pattern rule is “start with 1 and add 2 to each term to get the next term”), then distinguish such pattern rules from pattern rules, given in words, that describe the general term by referring to the term number (e.g., for 2, 4, 6, 8, …, the pattern rule for the general term is “double the term number”)
Learning Activities & Pedagogical Approach This lesson will follow the three-part lesson format.

Minds On:
Students will engage in a group activity where each group member will take a table of values, diagram, or graph and create pattern rules in words to describe the pattern independently.

Students will then share-out in their groups with group members suggesting ways in which their peers can improve their pattern rules. Once all groups have discussed each member’s pattern rules, the groups will then split up to discuss with members of other groups according to a system specified by the teacher.

Action:
The teacher will lead the class through three tasks requiring students to create pattern rules in words from a table of values, diagram, and graph. The teacher will focus on strategies for students to problem solve their way through the patterns including creating a first differences column, ratio tables, and other problem solving strategies.

Lesson #5: Extending Patterns to Find Term Numbers and Term Values

Lesson Features Détails
Les sujets The learning goals of this lesson include understanding how to extend patterns to find the term of a particular term number.
Attentes determine a term, given its term number, by extending growing and shrinking patterns that are generated by adding or subtracting a constant, or multiplying or dividing by a constant, to get the next term (Sample problem: For the pattern 5000, 4750, 4500, 4250, 4000, 3750, …, find the 15th term. Explain your reasoning.)
Learning Activities & Pedagogical Approach This lesson will follow a three-part lesson format.

Minds On:
Students will independently create a pattern with a diagram, table of values, and graph given manipulatives and a handout template to begin with. Students will then create the pattern rules in words to describe the pattern.

Once complete, the teacher will begin a “Mix to the Music” activity. This involves the teacher playing a segment of music and having students move about the room. When the music stops, the students will explain their pattern to the peer closest to them and the peer will then ask the student to use the pattern rules to extend the pattern to find a specific term corresponding to a term number. They will then rotate.

Action:
The group will come together for a class congress discussing extending growing and shrinking patterns. The teacher will show a number of patterns represented in different ways to allow students to explain how elles ou ils would extend the pattern to find the term corresponding to a specific term number.

A student recorder could use their iPad (or chart paper) to document the different approaches that can be displayed in the classroom.

Patterning and Relationships Culminating Task

CLICK HERE TO GO TO THE CULMINATING TASK

The culminating task attempts to bring the Big Ideas from the Grade 6 Patterning and Relationships unit into meaningful tasks that the students can complete to show they have gained a deep understanding.

Additional Resources for this Unit

Identifying Geometric Patterns – Grade 6 Patterning and Algebra

Geometric Patterning with Toothpicks Part 1

Geometric Patterning with Toothpicks Part 2

Growing Geometric Pattern – Create Table, Coordinates and Graph of Patterns


The life and numbers of Fibonacci

Fibonacci is one of the most famous names in mathematics. This would come as a surprise to Leonardo Pisano, the mathematician we now know by that name. And he might have been equally surprised that he has been immortalised in the famous sequence – 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . – rather than for what is considered his far greater mathematical achievement – helping to popularise our modern number system in the Latin-speaking world.

The Roman Empire left Europe with the Roman numeral system which we still see, amongst other places, in the copyright notices after films and TV programmes (2013 is MMXIII). The Roman numerals were not displaced until the mid 13th Century AD, and Leonardo Pisano's book, Liber Abaci (which means "The Book of Calculations"), was one of the first Western books to describe their eventual replacement.

Fibonacci (as we'll carry on calling him) spent his childhood in North Africa where his father was a customs officer. He was educated by the Moors and travelled widely in Barbary (Algeria), and was later sent on business trips to Egypt, Syria, Greece, Sicily and Provence. In 1200 he returned to Pisa and used the knowledge he had gained on his travels to write Liber Abaci (published in 1202) in which he introduced the Latin-speaking world to the decimal number system. The first chapter of Part 1 begins:

"These are the nine figures of the Indians: 9 8 7 6 5 4 3 2 1. With these nine figures, and with this sign 0 which in Arabic is called zephirum, any number can be written, as will be demonstrated."

Italy at the time was made up of small independent towns and regions and this led to use of many kinds of weights and money systems. Merchants had to convert from one to another whenever they traded between these systems. Fibonacci wrote Liber Abaci for these merchants, filled with practical problems and worked examples demonstrating how simply commercial and mathematical calculations could be done with this new number system compared to the unwieldy Roman numerals. The impact of Fibonacci's book as the beginning of the spread of decimal numbers was his greatest mathematical achievement. However, Fibonacci is better remembered for a certain sequence of numbers that appeared as an example in Liber Abaci.

A page of Fibonacci's Liber Abaci from the Biblioteca Nazionale di Firenze showing the Fibonacci sequence (in the box on the right)."

The problem with rabbits

One of the mathematical problems Fibonacci investigated in Liber Abaci was about how fast rabbits could breed in ideal circumstances. Suppose a newly-born pair of rabbits, one male, one female, are put in a field. Rabbits are able to mate at the age of one month so that at the end of its second month a female can produce another pair of rabbits. Suppose that our rabbits never die and that the female always produces one new pair (one male, one female) every month from the second month on. The puzzle that Fibonacci posed was. How many pairs will there be in one year?

  • At the end of the first month, they mate, but there is still only 1 pair.
  • At the end of the second month the female produces a new pair, so now there are 2 pairs of rabbits.
  • At the end of the third month, the original female produces a second pair, making 3 pairs in all.
  • At the end of the fourth month, the original female has produced yet another new pair, the female born two months ago produced her first pair also, making 5 pairs.

Bees are better

The rabbit problem is obviously very contrived, but the Fibonacci sequence does occur in real populations. Honeybees provide an example. In a colony of honeybees there is one special female called the queen. The other females are worker bees who, unlike the queen bee, produce no eggs. The male bees do no work and are called drone bees.

Males are produced by the queen's unfertilised eggs, so male bees only have a mother but no father. All the females are produced when the queen has mated with a male and so have two parents. Females usually end up as worker bees but some are fed with a special substance called royal jelly which makes them grow into queens ready to go off to start a new colony when the bees form a swarm and leave their home (a hive) in search of a place to build a new nest. So female bees have two parents, a male and a female whereas male bees have just one parent, a female.

Number ofParentsgrandparentsgreat-
grandparents
great-great-
grandparents
great-great-great-
grandparents
of a MALE bee12358
of a FEMALE bee235813

Spirals and shells

The amazing thing is that a single fixed angle of rotation can produce the optimal design no matter how big the plant grows. The principle that a single angle produces uniform packings no matter how much growth appears was suspected as early as last century but only proved mathematically in 1993 by Stéphane Douady and Yves Couder, two French mathematicians. Making 0.618 of a turn before producing a new seed (or leaf, petal, etc) produces the optimal packing of seeds no matter the size of the seed head. But where does this magic number 0.618 come from?

The golden ratio

If we take the ratio of two successive numbers in Fibonacci's series, dividing each by the number before it, we will find the following series of numbers:

1/1 = 1, 2/1 = 2, 3/2 = 1.5, 5/3 = 1.666. 8/5 = 1.6, 13/8 = 1.625, 21/13 = 1.61538.

If you plot a graph of these values you'll see that they seem to be tending to a limit, which we call the golden ratio (also known as the golden number et golden section).

Something similar happens for any other simple fraction of a turn: seeds grow in spiral arms that leave a lot of space between them (the number of arms is the denominator of the fraction). So the best value for the turns between seeds will be an irrational number. But not just any irrational number will do. For example, the seed head created with pi turns per seed seems to have seven spiralling arms of seeds. This is because 22/7 is a very good rational approximation of pi.

What is needed in order not to waste space is an irrational number that is not well approximated by a rational number. And it turns out that Phi (1.618034. ) and its decimal part phi (0.618034. ) are the "most irrational" of all irrational numbers. (You can find out why in Chaos in number land: the secret life of continued fractions.) This is why a turn of Phi gives the optimal packing of seeds and leaves in plants. It also explains why the Fibonacci numbers appear in the leaf arrangements and as the number of spirals in seedheads. Adjacent Fibonacci numbers give the best approximations of the golden ratio. They take turns at being the denominator of the approximations and define the number or spirals as the seed heads increase in size.

How did so many plants discover this beautiful and useful number, Phi? Obviously not from solving the maths as Fibonacci did. Instead we assume that, just as the ratio of successive Fibonacci numbers eventually settles on the golden ratio, evolution gradually settled on the right number too. The legacy of Leonardo Pisano, aka Fibonacci, lies in the heart of every flower, as well as in the heart of our number system.

Lectures complémentaires

If you have enjoyed this article you might like to visit Fibonacci Numbers and the Golden Section.

About this article

Dr R. Knott, who was previously a lecturer in the Department of Computing Studies at the University of Surrey. Knott started the website on Fibonacci Numbers and the Golden Section back in 1996 as an experiment at using the web to inspire and encourage more maths investigations both inside and outside of school time. It has since grown and now covers many other subjects, all with interactive elements and online calculators. Although now retired, Knott still maintains and extends the web pages. He is currently a Visiting Fellow at the University of Surrey and gives talks all over the country to schools, universities, conferences and maths societies. He also likes walking, mathematical recreations, growing things to eat and cooking them.

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A brief account of formative assessment approaches that can help you identify what young children know about patterns.

A variety of formative assessment techniques are described in Overview of Formative Assessments. This handout describes ways of assessing children’s knowledge specifically about patterns. Fortunately, patterns exist across the field of mathematics and in a variety of contexts, providing us with frequent opportunities to examine children’s thinking about patterns. But what do we want to know about children’s understanding of patterns?

We want to know if a child can

  • notice regularity
  • recognize patterns
  • identify patterns
  • copy patterns
  • extend patterns
  • generalize patterns

As in all activities, it is important to make the assessment activities meaningful and engaging. Below you will find tips on assessing young children’s patterning knowledge. Use these tips in conjunction with Overview of Formative Assessments to learn assessment techniques as well as patterning development in children. This will set you well on your way to effectively monitoring your children’s development in understanding patterns. As in any assessment, discovering what children know and understand takes more than just observation. In all of the activities, think about questions that can reveal children’s thinking. Here is a list of just some of the questions that can help children express their understanding of pattern:

  • What do you see?
  • How are these different?
  • How are these the same?
  • What goes next?
  • Is this a pattern?
  • How do you know it is a pattern?
  • Can you describe the pattern to me?
  • Can you make this pattern with different colors?
  • Can you make this pattern with different objects?
  • Can you tell me what you are doing?

The following assessments can be done in a variety of settings and formats. Some require one-on-one interactions, some can be done in interaction with a group of children, and some through observations of children working alone or with peers. Make sure the assessment technique you choose is appropriate for assessing the targeted skill/ability/understanding. Voir Overview of Formative Assessments for more information on keeping track of children’s progress.

Noticing regularity (and irregularity!)

Pattern skills build on children’s ability to discern differences. Ask children to sort a set of objects that can be sorted into distinct groups (colors, size, animal vs. insect, etc). Ask children: How did they sort them? What makes the objects the same? What makes them different?

Children notice patterns all around them but may not be able to articulate what the pattern is (" Look Teacher! The recycle sign. That’s a pattern too!" ). Ask questions that elicit children’s thinking (" Can you tell me what you see?" ).

Pattern recognition

In a group, ask children to look around the classroom and point out patterns. Remind them that the pattern unit has to repeat at least twice. Examples are stripes on someone’s shirt, pants or dress or the repeating figures 0-9 in the “ones’ place” column on a hundreds chart. Ask questions to bring out children’s thinking (" Can you describe the pattern? ")

Play I-Spy in small or large groups using patterns outside or inside the classroom (" I see a pattern with red–blue–red–blue." ). Once the children understand the game, allow them to take the teacher role.

Pattern identification

Ask a one or more children to create their own patterns with beads, blocks, or other manipulatives. Ask another child to identify the pattern unit. This can be transformed into a center activity using collections of objects (teddy bears to put in lines, unifix cubes to connect, etc.).

Create sound or movement patterns (remember to repeat the unit!) and ask the children to identify the pattern.

Pattern copying

It is particularly important for pattern copying to be engaging (just recreating a pattern out of beads just isn’t that exciting!). Ask a child in a small or large group to create a sound pattern (with their mouths or musical instruments) or a movement pattern. Have them repeat the pattern unit twice to help them remember that pattern must repeat in order to know that it is a pattern. Then have one or more of the rest of the children describe and copy the pattern.

Create a game out of copying increasingly sophisticated or longer patterns with a small group of children (helps to build excitement and suspense). Create a simple pattern in the middle of the table with bears, blocks, shapes, etc. and ask the children to copy it. Once the children are able to copy that pattern, encourage and challenge them (" Awesome! Are you ready for a little bit harder pattern?" ). By slowly increasing the difficulty of the problem, you are providing scaffolding for more sophisticated pattern copying. Children are highly motivated by challenge (and bored by tasks that do not involve any challenge), as long as the challenge is not too far out of reach. The task should require some thinking, and maybe even result in a few mistakes on the way, but not be so difficult that children have no idea how to do it.

Pattern extension

Begin a stack of blocks with two pattern units (e.g., square block–cylinder–square block–cylinder) and ask a child or small group to continue the pattern by stacking more blocks on top. Ask questions about what comes next. Having to balance the blocks can provide engagement for the children and it targets fine motor skills, too.

Start a pattern with objects found outdoors (such as different leaves, pinecones, dandelion flowers, or rocks). Make the pattern repeat, and then ask children to make it as long as they can.

Ask children to create a pattern using blocks or outdoor objects, or in different settings. Other children can extend the pattern. Even if the pattern is not accurately extended, these activities can provide rich conversations on what makes a pattern (and what doesn’t!).

Pattern generalization

Create your own activities based on the ones described above. Encourage the children to engage with objects, sounds, or movements other than those presented (" Joseph, I made a pattern with black and green cubes, can you make a similar pattern with these purple and red teddy bears?" ).

Ask children to rename a pattern you create (" I call this pattern “red yellow yellow.” What else could we call it?" ).

Create a growing pattern of objects such as one black Duplo, two green Duplos, three orange Duplos. and ask a child or small group of children to recreate the pattern with other objects they find in the classroom (for example, one toy bulldozer, two cars, three trucks. ).


TOOLS vs. IDEAS

Many experts in the field of mathematics view algebra as tools and ideas. Tools include problem solving skills, representation skills, and reasoning skills. Conversely, mathematical ideas include viewing algebra as generalized arithmetic, algebra as a language, and mathematical modeling.

In her article “ Just What Is Algebraic Thinking,” Kriegler shared this figure about the components of algebraic thinking:

  • Displaying relationships visually, symbolically, numerically, verbally
  • Translating among different representations
  • Interpreting information within representations

Algebra as the language of mathematics

  • Meaning of variables and variable expressions
  • Meaning of solutions
  • Understanding and using properties of the number system
  • Reading, writing, manipulating numbers and symbols using algebraic conventions
  • Using equivalent symbolic representations to manipulate formulas, expressions, equations, inequalities

Algebra as a tool to study functions and mathematical modeling

  • Seeking, expressing, generalizing patterns and rules in real-world contexts
  • Representing mathematical ideas using equations, tables, graphs, or words
  • Working with input/output patterns
  • Developing coordinate graphing skills

But What Does This Mean?

Problem Solving: Having a toolkit of sorts that helps you solve unfamiliar problems. If you can see patterns and relationships, you can solve more complex problems (Kriegler, n.d.).

Multiple Representations: Explaining thinking in a variety of ways deepens our mathematical understanding.

Raisonnement: Being able to reason is crucial to algebra and math. Inductive reasoning involves finding patterns in specific problems and applying them to other situations. Students use deductive reasoning when they reach particular conclusions from problem types.

Abstract Arithmetic: Early on, teachers should turn student focus to the multiplicative nature of arithmetic. Students develop primitive algebraic thinking at an early age. This can be as simple as representing a quantity with a model (i.e. holding up three fingers to show their age).

Later, students see relationships between addition (10+20=30 and 20+10=30) and they extend these patterns to all addition problems. Project M 3 , a 5-year collaborative research group from several universities believes that finding generalizations like this is early algebraic thinking (Project M 3 , n.d.).

Language of Math: Some teachers purport that algebra is the language of math. “In short, being fluent in the language of algebra requires both understanding the meaning of its vocabulary (i.e. symbols and variables) and flexibility to use its grammar rules (i.e. mathematical properties and conventions)” (Kriegler, n.d.). However, similar to oral language, if students do not understand the “words,” they will not be able to effectively communicate. For students to be able to use algebra to communicate their thinking, they must understand the meaning behind symbols, the relationships between numbers, and the enduring patterns in numbers.

Tool to Study Functions & Mathematical Modeling: Algebra can be extended to the real world. Further, students can use equations and graphs to illustrate mathematical patterns and relationships.

Additional Helpful Websites:

National Standards–National Council of Teachers of Mathematics (NCTM, 2006)

Kindergarten: Children identify, duplicate, and extend simple number patterns and sequential and growing patterns (e.g., patterns made with shapes) as preparation for creating rules that describe relationships.

Grade One: Through identifying, describing, and applying number patterns and properties in developing strategies for basic facts, children learn about other properties of numbers and operations, such as odd and even (e.g., “Even numbers of objects can be paired, with none left over”), and 0 as the identity element for addition.

Grade Two: Children use number patterns to extend their knowledge of properties of numbers and operations. For example, when skip counting, they build foundations for understanding multiples and factors.

Grade Three: Understanding properties of multiplication and the relationship between multiplication and division is a part of algebra readiness that develops at grade 3. The creation and analysis of patterns and relationships involving multiplication and division should occur at this grade level. Students build a foundation for later understanding of functional relationships by describing relationships in context with such statements as, “The number of legs is 4 times the number of chairs.”

Grade Four: Students continue identifying, describing, and extending numeric patterns involving all operations and nonnumeric growing or repeating patterns. Through these experiences, they develop an understanding of the use of a rule to describe a sequence of numbers or objects.

Grade Five: Students use patterns, models, and relationships as contexts for writing and solving simple equations and inequalities. They create graphs of simple equations. They explore prime and composite numbers and discover concepts related to the addition and subtraction of fractions as they use factors and multiples, including applications of common factors and common multiples. They develop an understanding of the order of operations and use it for all operations.

Grade Six: Students use the commutative, associative, and distributive properties to show that two expressions are equivalent. They also illustrate properties of operations by showing that two expressions are equivalent in a given context (e.g., determining the area in two different ways for a rectangle whose dimensions are x + 3 by 5). Sequences, including those that arise in the context of finding possible rules for patterns of figures or stacks of objects, provide opportunities for students to develop formulas.

Bibliographie

Bahr, D., & de Garcia, L.A. (2008). Elementary mathematics is anything but elementary. Boston: Cengage Learning.

Kriegler, S. Just what is algebraic thinking? Retrieved December 16, 2008, from http://www.math.ucla.edu/

National Council of Teachers of Mathematics. 2006. Curriculum focal points for prekindergarten through grade 8 mathematics: A quest for coherence. Reston,VA: National Council of Teachers of Mathematics.


Voir la vidéo: Modélisation mathématique dun Ravageur du maïs: Busseola fusca partie 14 (Novembre 2021).