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2.3 : Triangles et Quadrilatères - Mathématiques


Pensez au partage à deux

Suivez ces instructions par vous-même :

  • Dessinez n'importe quel triangle sur votre papier.
  • Dessinez un deuxième triangle différent du premier. Écrivez une phrase ou deux pour dire en quoi c'est différent.
  • Dessinez un troisième triangle différent de vos deux autres. Décrivez en quoi c'est différent.
  • Dessinez deux autres triangles, différents de tous ceux qui ont précédé.

Comparez vos triangles et descriptions avec un partenaire. Pour créer des triangles "différents", vous devez modifier certaines caractéristiques du triangle. Faites une liste des caractéristiques que vous ou votre partenaire avez modifiées.

Les triangles sont classés selon différentes propriétés. Le but de l'apprentissage de la géométrie n'est pas d'apprendre beaucoup de vocabulaire, mais il est utile d'utiliser les termes corrects pour les objets, afin que nous puissions communiquer clairement. Voici un dictionnaire rapide de certains types de triangles.

Classement par côtés

scalèneisocèleéquilatéral
tous les côtés ont des longueurs différentesdeux côtés ont la même longueurles trois côtés ont la même longueur

Classement par angles

aiguobtus
tous les angles intérieurs mesurent moins de 90°un angle intérieur mesure plus de 90°
droiteéquiangle
un angle intérieur mesure exactement 90°tous les angles intérieurs ont la même mesure

Rappelez-vous que « la géométrie est l'art de bien raisonner à partir de mauvais dessins ». Cela signifie que vous ne pouvez pas toujours faire confiance à vos yeux. Si vous regardez une image d'un triangle et qu'un côté semble être plus long qu'un autre, cela peut simplement signifier que le dessin a été fait un peu bâclé.

Notation : Coches

Les mathématiciens notent les mesures ou utilisent des coches pour indiquer quand les côtés et les angles sont censés être égaux.

Si deux côtés ont la même mesure ou le même nombre de graduations, vous devez croire qu'ils sont égaux et résoudre le problème en conséquence, même si ça n'a pas l'air de ça à tes yeux.

Vous pouvez en voir des exemples dans certaines des images ci-dessus. Un autre exemple est le petit carré utilisé pour indiquer un angle droit dans l'image du triangle rectangle.

Tout seul

Travaillez seul ou avec un partenaire les exercices suivants.

1. Dans l'image ci-dessous, quels côtés sont considérés comme ayant la même longueur (même si ce n'est pas le cas sur le dessin) ?

2. Dans l'image ci-dessous, quels angles sont considérés comme ayant la même mesure (même s'ils ne ressemblent pas à cela sur le dessin) ?

3. Voici un triangle scalène. Esquissez deux autres triangles scalènes, dont chacun est différent de celui montré ici d'une manière ou d'une autre.

4. Voici un triangle aigu. Esquissez deux triangles plus aigus, dont chacun est différent de celui montré ici d'une manière ou d'une autre.

5. Voici un triangle obtus. Esquissez deux autres triangles obtus, dont chacun est différent de celui montré ici d'une manière ou d'une autre.

6. Voici un triangle rectangle. Esquissez deux autres triangles rectangles, dont chacun est différent de celui montré ici d'une manière ou d'une autre. Assurez-vous d'indiquer quel angle est de 90°.

7. Voici un triangle isocèle. Esquissez deux autres triangles isocèles, dont chacun est différent de celui montré ici d'une manière ou d'une autre. Utilisez des coches pour indiquer quels côtés sont égaux.

Somme des angles

Pensez au partage à deux

A présent, vous avez dessiné plusieurs triangles différents sur votre papier. Choisissez l'un de vos triangles et suivez ces instructions :

  • À l'aide de ciseaux, découpez le triangle.
  • Déchirez (ne coupez pas) les coins et placez les trois sommets ensemble. Vous devriez avoir quelque chose qui ressemble un peu à cette image :

Que remarquez-vous ? Qu'est-ce que cela suggère sur les angles d'un triangle?

Vous vous souvenez peut-être d'avoir appris que la somme des angles dans n'importe quel triangle est de 180°. Dans ta classe, tu as maintenant beaucoup d'exemples de triangles où la somme des angles semble être de 180°. Mais rappelez-vous, nos dessins ne sont pas exacts. Comment être sûr que nos yeux ne nous trompent pas ? Comment être sûr que la somme des angles d'un triangle n'est pas 181° ou 178°, mais bien 180° sur le nez dans tous les cas ?

Pensez au partage à deux

Qu'est-ce qui vous convaincrait sans aucun doute que la somme des angles d'un triangle est de 180° ? Est-ce que tester beaucoup de cas suffirait? Combien suffit-il ? Pourriez-vous jamais tester tous les triangles possibles ?

Histoire : les axiomes d'Euclide

Souvent, les professeurs de géométrie du secondaire prouvent que la somme des angles d'un triangle est de 180°, en utilisant généralement des faits sur les lignes parallèles. Mais (peut-être étonnamment ?) il est tout aussi bon de prendre cela comme un axiome, comme un fait donné sur le fonctionnement de la géométrie, et à partir de là. C'est peut-être moins satisfaisant que de le prouver à partir d'une autre déclaration, et si vous êtes curieux, vous pouvez certainement trouver une preuve ou votre instructeur peut en partager une avec vous.

Noter

Vers 300 avant JC, Euclide[1] était le premier mathématicien (pour autant que nous le sachions) qui a essayé d'écrire des axiomes prudents, puis de construire à partir de ces axiomes des preuves rigoureuses de vérités mathématiques.

Euclide

Euclide avait cinq axiomes pour la géométrie, dont les quatre premiers semblaient assez évidents pour les mathématiciens. Les gens pensaient qu'ils étaient des hypothèses raisonnables à partir desquelles construire des vérités géométriques :

  1. Étant donné deux points, vous pouvez les connecter avec un segment de ligne droite.
  2. Étant donné un segment de ligne, vous pouvez l'étendre aussi loin que vous le souhaitez dans les deux sens, en créant une ligne.
  3. Étant donné un segment de ligne, vous pouvez dessiner un cercle ayant ce segment comme rayon.
  4. Tous les angles droits sont congrus.

Le cinquième postulat dérangeait un peu plus les gens. Il était à l'origine énoncé dans un langage plus fleuri, mais il équivalait à cette déclaration :

  1. La somme des angles d'un triangle est de 180°.

Il est facile de comprendre pourquoi ce cinquième axiome a causé un tel chahut en mathématiques. Cela semblait beaucoup moins évident que les quatre autres, et les mathématiciens avaient l'impression qu'ils trichaient en quelque sorte s'ils le supposaient plutôt que de prouver que cela devait être vrai. De nombreux mathématiciens ont passé de nombreuses années à essayer de prouver ce cinquième axiome à partir des autres axiomes, mais ils n'ont pas pu le faire. Et pour cause : il existe d'autres types de géométries où les quatre premiers axiomes sont vrais, mais le cinquième ne l'est pas !

Par exemple, si vous faites de la géométrie sur une sphère - comme un ballon de basket ou plus important encore sur la surface de la Terre - plutôt que sur un plan plat, les quatre premiers axiomes sont vrais. Mais les triangles sont un peu étranges à la surface de la terre. Chaque triangle que vous pouvez dessiner sur la surface de la terre a une somme d'angle strictement plus grand que 180°. En fait, vous pouvez dessiner un triangle sur la Terre qui a trois angles droits[2], faisant une somme d'angle de 270°.

Triangle avec trois angles droits sur une sphère.

Sur une sphère comme la Terre, la somme des angles n'est pas constante parmi tous les triangles. Les triangles plus grands ont des sommes d'angles plus grandes et les triangles plus petits ont des sommes d'angles plus petites, mais même les triangles les plus petits ont des sommes d'angles supérieures à 180°.

La géométrie que vous étudiez à l'école s'appelle Géométrie euclidienne; c'est la géométrie d'un plan plat, d'un monde plat. C'est une assez bonne approximation pour le petit morceau de Terre que nous voyons à un moment donné, mais ce n'est pas la seule géométrie qui existe !

Inégalité triangulaire

Faites une copie de ces bandes de papier et découpez-les. Ils ont des longueurs de 1 unité à 6 unités. Vous pouvez colorer les bandes, y écrire des chiffres ou faire quelque chose qui facilite le suivi des différentes longueurs.

Problème 3

Répétez le processus suivant plusieurs fois (au moins 10) et gardez une trace des résultats (un tableau a été créé pour vous).

  • Choisissez trois bandes de papier. (Les longueurs ne doivent pas nécessairement être toutes différentes les unes des autres ; c'est pourquoi vous avez plusieurs copies de chaque longueur.)
  • Essayez de faire un triangle avec ces trois bandes et décidez si vous pensez que c'est possible ou non. (Ne pas chevaucher les bandes, les couper ou les plier. La longueur des bandes doit être la longueur des côtés du triangle.)
Longueur 1Longueur 2Longueur 3Triangle?
432Oui
421non
422??

Votre objectif est de proposer un règle qui décrit quand trois longueurs feront un triangle et quand ils ne le feront pas. Écrivez la règle dans vos propres mots.

Pensez au partage à deux

Comparez votre règle avec d'autres élèves. Utilisez ensuite votre règle pour répondre aux questions suivantes. Gardez à l'esprit que le but n'est pas d'essayer de construire le triangle, mais de prédire le résultat en fonction de votre règle.

  • Supposons qu'on vous demande de faire un triangle avec des côtés de 40 unités, 40 unités et 100 unités de long. Pensez-vous pouvoir le faire? Expliquez votre réponse.
  • Supposons qu'on vous demande de faire un triangle avec des côtés de 2,5 unités, 2,6 unités et 5 unités de long. Pensez-vous pouvoir le faire? Expliquez votre réponse.

Vous avez probablement trouvé une version de cette déclaration :

Théorème : Inégalité triangulaire

La somme des longueurs des deux côtés d'un triangle est supérieure à la longueur du troisième côté.

Bien sûr, nous savons qu'en géométrie il ne faut pas en croire nos yeux. Vous devez rechercher un explication. Pourquoi votre déclaration a-t-elle du sens ?

Rappelez-vous que « la géométrie est l'art de bien raisonner à partir de mauvais dessins ». Nos matériaux n'étaient pas très précis, alors comment pouvons-nous être sûrs que cette règle que nous avons élaborée est correcte ?

Eh bien, dans ce cas, la règle est vraiment la même que le dicton "la distance la plus courte entre deux points est une ligne droite". En fait, c'est exactement ce que nous entendons par les mots ligne droite en géométrie.

Congruence SSS

On dit que deux triangles (ou deux objets géométriques quelconques) sont conforme s'ils ont exactement la même forme et la même taille. Cela signifie que si vous pouviez en prendre un et le déplacer pour le poser sur l'autre, ils se chevaucheraient exactement.

Problème 4

Répétez le processus suivant plusieurs fois et gardez une trace des résultats.

  • Choisissez trois bandes de papier qui formeront certainement un triangle.
  • Essayez d'en faire deux différent triangles (non congruents) avec les mêmes trois bandes de papier. Notez si vous avez pu le faire.

Problème 5

Répétez le processus suivant plusieurs fois et gardez une trace des résultats.

  • Choisissez quatre bandes de papier et formez un quadrilatère avec elles. (Si vos quatre bandes ne forment pas un quadrilatère, choisissez quatre autres bandes.)
  • Essayez d'en faire deux différent quadrilatères (non congruents) avec les mêmes quatre bandes de papier. Notez si vous avez pu le faire.

Pensez au partage à deux

Que remarquez-vous dans les problèmes 4 et 5 ? Pouvez-vous faire une déclaration générale pour décrire ce qui se passe ? Pouvez-vous expliquer pourquoi votre déclaration a du sens?

Vous avez probablement trouvé une version de cette déclaration :

Théorème : SSS (side-side-side) Congruence

Si deux triangles ont la même longueur de côté, alors les triangles sont congrus.

Ce n'est certainement pas vrai pour les quadrilatères. Par exemple, si vous choisissez quatre bandes de même longueur, vous pouvez faire un carré :

Mais vous pouvez également écraser ce carré dans un losange non carré. (Essayez-le !)

Si vous ne choisissez pas quatre longueurs identiques, en plus d'« écraser » la forme, vous pouvez réorganiser les côtés pour créer des formes différentes (non congruentes). (Essayez-le !)

Ces deux quadrilatères ont les mêmes quatre longueurs de côté dans le même ordre.

Ces deux quadrilatères ont les mêmes quatre longueurs de côté que les deux ci-dessus, mais les côtés sont dans un ordre différent.

Mais cela ne peut pas arriver avec des triangles. Pourquoi pas? Eh bien, vous ne pouvez certainement pas réorganiser les trois côtés. Ce serait exactement la même chose que de faire pivoter le triangle ou de le retourner, mais sans créer une nouvelle forme.

Pourquoi les triangles ne peuvent-ils pas « écraser » comme le ferait un quadrilatère (et d'autres formes) ? Voici une façon de le comprendre. Imaginez que vous choisissez deux de vos trois longueurs et que vous les posez l'une sur l'autre, articulées dans un coin.

Cela montre un segment en pointillé violet plus long et un segment vert plus court. Les deux segments sont articulés au niveau du point rouge à gauche.

Imaginez maintenant que vous ouvrez la charnière petit à petit.

Au fur et à mesure que la charnière s'ouvre, les deux extrémités non articulées s'éloignent de plus en plus. Quelle que soit votre troisième longueur (en supposant que vous soyez réellement capable de faire un triangle avec vos trois longueurs), il y a exactement une position de la charnière où il s'adaptera exactement pour fermer le triangle. Aucun autre poste ne fonctionnera.


  1. Portrait d'Euclide de Wikimedia Commons, sous licence Creative Commons Attribution 4.0 Internationale Licence.
  2. Image de Coyau / Wikimedia Commons, via Wikimedia Commons, sous licence Creative Commons Attribution-Partage à l'identique 3.0 non porté.


Voir la vidéo: Polygones, triangles et quadrilatères (Novembre 2021).