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3.1 : Identités trigonométriques de base - Mathématiques


Jusqu'à présent, nous connaissons quelques relations entre les fonctions trigonométriques. Par exemple, on connaît les relations réciproques :

  1. (csc; heta ~=~ dfrac{1}{sin; heta} qquad ) quand (sin; heta e 0)
  2. (sec; heta ~=~ dfrac{1}{cos; heta} qquad ) quand (cos; heta e 0)
  3. (cot; heta ~=~ dfrac{1}{ an; heta} qquad ) lorsque ( an; heta ) est défini et non (0)
  4. (sin; heta ~=~ dfrac{1}{csc; heta} qquad ) lorsque (csc; heta ) est défini et non (0)
  5. (cos; heta ~=~ dfrac{1}{sec; heta} qquad ) lorsque (sec; heta ) est défini et non (0)
  6. ( an; heta ~=~ dfrac{1}{cot; heta} qquad ) lorsque (cot; heta ) est défini et non (0)

Notez que chacune de ces équations est vraie pour tout angles ( heta ) pour lesquels les deux membres de l'équation sont définis. De telles équations sont appelées identités, et dans cette section, nous aborderons plusieurs identités trigonométriques, c'est-à-dire des identités impliquant les fonctions trigonométriques. Ces identités sont souvent utilisées pour simplifier des expressions ou des équations compliquées. Par exemple, l'une des identités trigonométriques les plus utiles est la suivante :

[ an; heta ~=~ frac{sin; heta}{cos; heta} qquad ext{when } cos; heta e 0 label{3.1} ]

Pour prouver cette identité, choisissez un point ((x,y) ) du côté terminal de ( heta ) à une distance (r >0 ) de l'origine, et supposons que (cos; heta e 0 ). Alors (x e 0 ) (puisque (cos; heta = frac{x}{r})), donc par définition

[pas de numéro
frac{sin; heta}{cos; heta} ~=~ dfrac{~dfrac{y}{r}~}{~dfrac{x}{r}~} ~=~ frac{y}{x} ~=~
an; heta ~.
]

Notez comment nous avons prouvé l'identité en développant l'un de ses côtés ((frac{sin; heta}{cos; heta})) jusqu'à ce que nous obtenions une expression qui était égale à l'autre côté ( ( an; heta)). C'est probablement la technique la plus courante pour prouver des identités. Prendre des réciproques dans l'identité ci-dessus donne :

[ cot; heta ~=~ frac{cos; heta}{sin; heta} qquad ext{when } sin; heta e 0 label{3.2} ]

Nous allons maintenant dériver l'une des identités trigonométriques les plus importantes. Soit ( heta ) un angle quelconque avec un point ((x,y) ) sur son côté terminal à une distance (r>0 ) de l'origine. Par le théorème de Pythagore, (r^2 = x^2 + y^2 ) (et donc (r=sqrt{x^2 + y^2})). Par exemple, si ( heta ) est dans QIII comme dans la figure 3.1.1, alors les jambes du triangle rectangle formé par l'angle de référence ont des longueurs (|x| ) et (|y| ) ( on utilise des valeurs absolues car (x) et (y) sont négatifs dans QIII). Le même argument est valable si ( heta) est dans les autres quadrants ou sur l'un ou l'autre des axes. Ainsi,

[pas de numéro
r^2 ~=~ |{x}|^2 ~+~ |{y}|^2 ~=~ x^2 ~+~ y^2 ~,
]
donc en divisant les deux membres de l'équation par (r^2 ) (ce que nous pouvons faire puisque (r>0)) donne

[pas de numéro
frac{r^2}{r^2} ~=~ frac{x^2 ~+~ y^2}{r^2} ~=~ frac{x^2}{r^2} ~+ ~ frac{y^2}{r^2} ~=~
left(frac{x}{r} ight)^2 ~+~ left(frac{y}{r} ight)^2 ~.
]

Puisque (frac{r^2}{r^2} = 1 ), (frac{x}{r} = cos; heta ), et (frac{y}{r } = sin; heta ), nous pouvons réécrire ceci comme :

[cos^2 ; heta ~+~ sin^2 ; heta ~=~ 1 label{3.3}]

Vous pouvez considérer cela comme une sorte de variante trigonométrique du théorème de Pythagore. Notez que nous utilisons la notation (sin^2 ; heta ) pour signifier ((sin; heta)^2 ), de même pour le cosinus et les autres fonctions trigonométriques. Nous utiliserons la même notation pour d'autres puissances que (2).

De l'identité ci-dessus, nous pouvons dériver plus d'identités. Par exemple:

[ sin^2 ; heta ~=~ 1 ~-~ cos^2 ; heta label{3.4} ]
[ cos^2 ; heta ~=~ 1 ~-~ sin^2 ; heta label{3.5} ]

d'où on obtient (après avoir pris des racines carrées) :

[ sin; heta ~=~ pm,sqrt{1 ~-~ cos^2 ; heta}label{3.6}]
[cos; heta ~=~ pm,sqrt{1 ~-~ sin^2 ; heta}label{3.7}]

Aussi, à partir des inégalités (0 le sin^2 ; heta = 1 ~-~ cos^2 ; heta le 1 ) et (0 le cos^2 ; heta = 1 ~-~ sin^2 ; heta le 1 ), en prenant des racines carrées, on obtient les bornes suivantes sur le sinus et le cosinus :

[ -1 ~ le ~ sin; heta ~ le ~ 1 label{3.8}]
[-1 ~ le ~ cos; heta ~ le ~ 1 label{3.9}]

Les inégalités ci-dessus ne sont pas des identités (puisqu'elles ne sont pas des équations), mais elles fournissent des vérifications utiles sur les calculs. Rappelons que nous avons dérivé ces inégalités des définitions de sinus et cosinus à la section 1.4.

Dans l'équation ef{3.3}, en divisant les deux côtés de l'identité par (cos^2 ; heta ) donne

[pas de numéro
frac{cos^2 ; heta}{cos^2 ; heta} ~+~ frac{sin^2 ; heta}{cos^2 ; heta} ~=~
frac{1}{cos^2 ; heta} ~~,
]

donc puisque ( an; heta = frac{sin; heta}{cos; heta} ) et (sec; heta = frac{1}{cos ; heta} ), on obtient :

[1 ~+~ an^2 ; heta ~=~ sec^2 ; heta label{3.10}]

De même, en divisant les deux côtés de l'équation ef{3.3} par (sin^2 ; heta ) donne

[pas de numéro
frac{cos^2 ; heta}{sin^2 ; heta} ~+~ frac{sin^2 ; heta}{sin^2 ; heta} ~=~
frac{1}{sin^2 ; heta} ~~,
]

donc puisque (cot; heta = frac{cos; heta}{sin; heta} ) et (csc; heta = frac{1}{sin ; heta} ), on obtient :

[cot^2 ; heta ~+~ 1 ~=~ csc^2 ; heta label{3.11}]

Exemple 3.1

Simplifier (;cos^2 ; heta ~ an^2 ; heta; ).

Solution

Nous pouvons utiliser l'équation ef{3.5} pour simplifier :

[ onumber egin{align*}
cos^2 ; heta~ an^2 ; heta ~ &= ~ cos^2 ; heta ~cdot~
frac{sin^2 ; heta}{cos^2 ; heta} onumber
&= ~ sin^2 ; heta
end{align*}]

Exemple 3.2

Simplifier (;5sin^2 ; heta ~+~ 4cos^2 ; heta; ).

Solution

Nous pouvons utiliser l'équation ef{3.1} pour simplifier :
[ onumber egin{align*}
5sin^2 ; heta ~+~ 4cos^2 ; heta ~ &= ~ 5sin^2 ; heta ~+~
4left( 1 ~-~ sin^2 ; heta ight) onumber
&= ~ 5sin^2 ; heta ~+~ 4 ~-~ 4sin^2 ; heta onumber
&= ~ sin^2 ; heta ~+~ 4
end{align*}]

Exemple 3.3

Prouver que (; an ; heta ~+~ cot ; heta ~=~ sec ; heta ~ csc ; heta; ).

Solution

Nous allons développer le côté gauche et montrer qu'il est égal au côté droit :

[ onumber egin{alignat*}{3}
an ; heta + cot ; heta ~ &= ~ frac{sin; heta}{cos; heta} ~+~
frac{cos; heta}{sin; heta} &{} qquad & ext{(par ef{3.1} et
ef{3.2})} onuméro
&= ~ frac{sin; heta}{cos; heta} ;cdot; frac{sin; heta}{sin; heta} ~+~
frac{cos; heta}{sin; heta} ;cdot; frac{cos; heta}{cos; heta}
&{} qquad & ext{(multipliez les deux fractions par (1))} onumber
&= ~ frac{sin^2 ; heta ~+~ cos^2 ; heta}{cos; heta ~ sin; heta} &{} qquad
& ext{(après avoir obtenu un dénominateur commun)} onumber
&= ~ frac{1}{cos; heta ~ sin; heta} &{} qquad & ext{(by ef{3.3})} onumber
&= ~ frac{1}{cos; heta} ~cdot~ frac{1}{sin; heta} onumber
&= ~ sec ; heta ~ csc ; heta
end{aligner*}]

Dans l'exemple ci-dessus, comment avons-nous su étendre le côté gauche au lieu du côté droit ? En général, bien que cette technique ne fonctionne pas toujours, le côté le plus compliqué de l'identité sera probablement plus facile à développer. La raison en est que, par sa complexité, il y aura plus de choses que vous pourrez faire avec cette expression. Par exemple, si on vous demandait de prouver que

[pas de numéro
sec; heta ~-~ sin; heta ~ an; heta ~=~ cos; heta ~,
]

il n'y aurait pas grand-chose à faire avec le côté droit de cette identité ; il consiste en un seul terme ((cos; heta)) qui n'offre aucun moyen évident d'expansion.

Exemple 3.4

Prouver que (;dfrac{1 ~+~ cot^2 ; heta}{sec; heta} ~=~ csc; heta ~ cot; heta; ) .

Solution

Des deux côtés, le côté gauche semble plus compliqué, nous allons donc développer cela :

[ onumber egin{alignat*}{3}
frac{1 ~+~ cot^2 ; heta}{sec; heta} ~ &= ~ frac{csc^2 ; heta}{sec; heta}
&{} qquad & ext{(par ef{3.11})} onumber
&= ~ dfrac{csc; heta ~cdot~ dfrac{1}{sin; heta}}{dfrac{1}{cos; heta}} &{}
&{}[2mm] onuméro
&= ~ csc; heta ~cdot~ frac{cos; heta}{sin; heta} &{} &{} onumber
&= ~ csc ; heta ~ cot ; heta &{} qquad & ext{(by ef{3.2})}
end{aligner*}]

Lorsque vous essayez de prouver une identité où au moins un côté est un rapport d'expressions, multiplication croisée peut être une technique efficace :

[pas de numéro
frac{a}{b} ~=~ frac{c}{d} quad ext{si et seulement si}quad ad ~=~ bc
]

Exemple 3.6

Démontrer que (;dfrac{1 ~+~ sin; heta}{cos; heta} ~=~ dfrac{cos; heta}{1 ~-~ sin; heta}; ).

Solution

Multipliez et réduisez les deux côtés jusqu'à ce qu'il soit clair qu'ils sont égaux :

[ onumber egin{align*}
( 1 ~+~ sin; heta ) ( 1 ~-~ sin; heta ) ~ &= ~ cos; heta ~cdot~ cos; heta onumber
1 ~-~ sin^2 ; heta ~ &= ~ cos^2 ; heta
end{align*}]

Par ef{3.5} les deux membres de la dernière équation sont bien égaux. Ainsi, l'identité d'origine tient.

Exemple 3.7

Supposons que (;a,cos; heta = b; ) et (;c,sin; heta = d; ) pour un certain angle ( heta ) et quelques constantes (a ), (b ), (c ) et (d ). Montrez que (;a^2 c^2 = b^2 c^2 + a^2 d^2 ).

Solution

Multipliez les deux membres de la première équation par (c ) et la deuxième équation par (a):
[ onumber egin{align*}
ac,cos; heta ~ &= ~ bc onumber
ac,sin; heta ~ &= ~ annonce
end{align*}]

Maintenant, ajustez chacune des équations ci-dessus, puis additionnez-les pour obtenir :

[ onumber egin{align*}
(ac,cos; heta)^2 ~+~ (ac,sin; heta)^2 ~ &= ~ (bc)^2 ~+~ (ad)^2 onumber
(ac)^2 left( cos^2 ; heta ~+~ sin^2 ; heta ight)~ &= ~ b^2 c^2 ~+~ a^2 d^2 pas de numéro
a^2 c^2 ~ &= ~ b^2 c^2 ~+~ a^2 d^2 qquad ext{(by ef{3.3})}
end{align*}]

Remarquez comment ( heta ) n'apparaît pas dans notre résultat final. L'astuce consistait à obtenir un coefficient commun ((ac)) pour (;cos; heta; ) et (;sin; heta; ) afin que nous puissions utiliser (;cos^2 ; heta + sin^2 ; heta = 1 ). Il s'agit d'une technique courante pour éliminer les fonctions trigonométriques des systèmes d'équations.


Les relations entre les côtés et les angles des triangles sont liées aux fonctions trigonométriques. Les fonctions trigonométriques sont généralement abordées de deux manières principales : en termes de triangles rectangles et en termes de cercle unité. La définition du triangle rectangle des fonctions trigonométriques comme décrit ci-dessous est le plus souvent la façon dont elles sont introduites.

Définition du triangle rectangle

La sortie d'une fonction trigonométrique est un rapport des longueurs des deux côtés d'un triangle rectangle. Les termes utilisés pour décrire les côtés d'un triangle rectangle sont l'hypoténuse, le côté adjacent et le côté opposé, comme le montre la figure ci-dessous.

Les côtés d'un triangle rectangle sont référencés comme suit :

  • Adjacent : le côté à côté de &theta qui n'est pas l'hypoténuse
  • Ci-contre : le côté opposé &theta.
  • Hypoténuse : côté le plus long du triangle opposé à l'angle droit.

Les fonctions trigonométriques sont définies sur la base des rapports des deux côtés du triangle rectangle. Il existe six fonctions trigonométriques : sinus, cosinus, tangente, cosécante, sécante et cotangente. Ces fonctions sont souvent abrégées en sin, cos, tan, csc, sec et cot. Leurs définitions sont présentées ci-dessous.

Le sinus, le cosinus et la tangente sont les trois fonctions trigonométriques les plus couramment utilisées. La cosécante, la sécante et la cotangente sont respectivement les réciproques du sinus, du cosinus et de la tangente. En tant que tel, tant que nous nous souvenons des définitions de sinus, cosinus et tangente, nous pouvons prendre leurs réciproques pour déterminer les définitions de cosécante, sécante et cotangente.

Quelle est la valeur de sin(45°), cos(45°) et tan(45°) ?

Bob a marché 300 m tout droit sur une colline de 30 degrés, à quelle hauteur Bob a-t-il grimpé ?

Hauteur = distance parcourue × sin (30°)
= 300 × 0.5
= 150 mètres

Ainsi, Bob a atteint une hauteur de 150 m après avoir parcouru 300 m sur la pente de la colline.


3.1 : Identités trigonométriques de base - Mathématiques

Les identités trigonométriques de base se déclinent en plusieurs variétés. Celles-ci incluent les identités réciproques, les identités de ratio, les identités pythagoriciennes, les identités symétriques et les identités de cofonction. Chacune de ces identités découle directement de la définition.

Théorème des identités réciproques

Les identités suivantes sont vraies pour toutes les valeurs pour lesquelles elles sont définies :

$sin t=dfrac<1>$ $ an t=dfrac<1>$ $sec t=dfrac<1>$
$cos t=dfrac<1>$ $cot t=dfrac<1>< an t>$ $csc t=dfrac<1>$

Preuve: De la définition du cercle unitaire, nous avons $csc t=dfrac<1>=dfrac<1>$. Les preuves des cinq autres identités sont similaires.♦

Théorème des identités de rapport

Les identités suivantes sont vraies pour toutes les valeurs pour lesquelles elles sont définies :

$sin t=dfrac$ $ an t=dfrac$ $sec t=dfrac< an t>$
$sin t=dfrac< an t>$ $ an t=dfrac$ $sec t=dfrac$
$cos t=dfrac< an t>$ $cot t=dfrac$ $csc t=dfrac$
$cos t=dfrac$ $cot t=dfrac$ $csc t=dfrac< an t>$

Preuve: D'après la définition du cercle unitaire, nous avons $ an t=dfrac=dfrac$. Les preuves des onze autres identités sont similaires.♦

Sur les douze identités de rapport données, seules deux sont couramment citées, à savoir celles qui impliquent des rapports de sinus et de cosinus. Outre ces douze rapports, d'autres rapports peuvent être produits et simplifiés, mais ils seront soit égaux à la constante 1, soit un produit de fonctions trigonométriques.

Théorème des identités de Pythagore

Les identités suivantes sont vraies pour toutes les valeurs pour lesquelles elles sont définies :

$sin^2 t+cos^2 t=1$
$1+ an^2 t=sec^2 t$
$1+cot^2 t=csc^2 t$

Preuve: L'équation du cercle unité est $x^2+y^2=1$. En substituant en utilisant les définitions du cercle unitaire, nous obtenons la première des trois identités. Les deux autres identités peuvent être obtenues en divisant chaque côté de l'équation par un facteur approprié.♦

Notez que les identités pythagoriciennes fournissent un moyen d'exprimer le carré de chaque fonction trigonométrique sous une forme alternative.

Théorème des identités symétriques

Les identités suivantes sont vraies pour toutes les valeurs pour lesquelles elles sont définies :

$sin (-t)=-sin t$ $ an (-t)=- an t$ $sec (-t)=+sec t$
$cos (-t)=+cos t$ $cot (-t)=-cot t$ $csc (-t)=-csc t$

Preuve: Soit le point $A$ sur le cercle unité avoir les coordonnées $(x,y)$ et la longueur de l'arc $t$, mesurée dans le sens antihoraire à partir du point $(1,0)$. Définissez le point $B$ comme étant le point du cercle unité dont la longueur de l'arc est $t$, mesuré dans le sens des aiguilles d'une montre à partir du point $(1,0)$. En d'autres termes, mesurée dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, la longueur de l'arc est de $-t$. Ensuite, par symétrie sur l'axe $x$, les coordonnées du point $B$ sont $(x,-y)$. Par conséquent, nous avons $sin(-t)=-y=-sin t$.

La preuve de l'identité en cosinus est similaire. Pour l'identité tangente, on a $ an (-t)=dfrac=dfrac<-sin t><+cos t>=- an t$.

Les preuves des trois dernières identités trigonométriques sont similaires à la preuve de l'identité tangente.♦

Théorème de cofonction

Les identités suivantes sont vraies pour toutes les valeurs pour lesquelles elles sont définies :

$sin t=cosleft(dfrac<2>-t ight)$ $cos t=sinleft(dfrac<2>-t ight)$
$ an t=cotleft(dfrac<2>-t ight)$ $cot t= anleft(dfrac<2>-t ight)$
$sec t=cscleft(dfrac<2>-t ight)$ $csc t=secleft(dfrac<2>-t ight)$

Preuve: Soit le point $A$ sur le cercle unité avoir les coordonnées $(x,y)$ et la longueur de l'arc $t$, mesurée dans le sens inverse des aiguilles d'une montre à partir du point $(1,0)$. Définissez le point $B$ comme étant le point du cercle unité dont la longueur de l'arc est $dfrac<2>-t$, mesuré dans le sens antihoraire à partir du même point. Alors les coordonnées du point $B$ sont $(y,x)$. Par conséquent, nous avons $cosleft(dfrac<2>-t ight)=y=sin t$.


Identités de quotient

Les définitions des fonctions trig nous ont conduits aux identités réciproques, qui peuvent être vues dans le Concept sur ce sujet. Elles nous conduisent également à un autre ensemble d'identités, les identités quotient.

Considérons d'abord les fonctions sinus, cosinus et tangente. Pour les angles de rotation (pas nécessairement dans le cercle unité) ces fonctions sont définies comme suit :

Compte tenu de ces définitions, nous pouvons montrer que ( an heta =dfrac) , tant que (cos heta eq 0):

L'équation ( an heta =dfrac) est donc une identité que l'on peut utiliser pour trouver la valeur de la fonction tangente, étant donné la valeur du sinus et du cosinus .

Jetons un coup d'œil à quelques problèmes impliquant des identités de quotient.

1. Trouvez la valeur de ( an heta) ?

Si (cos heta =dfrac<5><13>) et (sin heta =dfrac<12><13>), quelle est la valeur de ( an heta ) ?

3. Quelle est la valeur de (cot heta) ?

Si (cos heta =dfrac<7><25>) et (sin heta =dfrac<24><25>), quelle est la valeur de (cot heta) ?

Plus tôt, on vous a demandé si vous pouviez aider votre ami à trouver la réponse.

vous pouvez utiliser ces connaissances pour aider votre ami avec les valeurs de sinus et de cosinus que vous avez mesurées vous-même plus tôt :

Si (cos heta =dfrac<17><145>) et (sin heta =dfrac<144><145>), quelle est la valeur de ( an heta) ?

( an heta =dfrac<144><17>). Nous pouvons le voir à partir de la relation pour la fonction tangente :

Si (sin heta =dfrac<63><65>) et (cos heta =dfrac<16><65>), quelle est la valeur de ( an heta) ?

( an heta =dfrac<63><16>). Nous pouvons le voir à partir de la relation pour la fonction tangente :

Si ( an heta =dfrac<40><9>) et (cos heta =dfrac<9><41>), quelle est la valeur de (sin heta) ?

(sin heta =dfrac<40><41>). Nous pouvons le voir à partir de la relation pour la fonction tangente :


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Fonctions trigonométriques de base

Les fonctions trigonométriques relient les angles d'un triangle rectangle aux rapports des côtés. Étant donné le triangle suivant :

les fonctions trigonométriques de base sont définies pour 0 < θ < π 2 0 < heta < frac <2>0 < θ < 2 π ​ comme

sin ⁡ θ = hypoténuse opposée , cos ⁡ θ = hypoténuse adjacente , tan ⁡ θ = adjacent adjacent . commencer&sin heta = frac< ext>< exte>, &cos heta = frac< ext>< exte>, & an heta = frac< ext>< exte>. finir ​ sin θ = hypoténuse opposée ​ , ​ cos θ = hypoténuse adjacente ​ , ​ tan θ = adjacent opposé ​ .​

Pour un aperçu de la conversion entre degrés et radians, voir Degrés et radians. Cependant, une définition plus utile vient du cercle unité. Si l'on considère un cercle de rayon 1 unité, centré à l'origine, alors l'angle θ heta θ à l'intérieur du cercle décrit un triangle rectangle lorsque l'on laisse tomber une perpendiculaire à l'axe x x x depuis le point d'intersection avec le cercle.

Cercle d'unité

Notez que le triangle rectangle ainsi décrit a une hypoténuse égale au rayon du cercle, un côté adjacent égal à la coordonnée xxx du point ( x , y ) , (x, y), ( x , y ) , et un côté opposé égal à la coordonnée yyy. Cela donne naturellement lieu aux définitions affinées suivantes :

Ces définitions ont l'avantage d'être compatibles avec la définition du triangle ci-dessus, ainsi que de permettre l'évaluation d'angles correspondant à n'importe quel nombre réel.

Certaines valeurs de ces fonctions sont utiles à retenir. Ils sont:


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Identités basiques et pythagoriciennes

Remarquez comment un rapport de déclenchement "co-(quelque chose)" est toujours l'inverse d'un rapport "non-co". Vous pouvez utiliser ce fait pour vous aider à garder droit que la cosécante va avec le sinus et la sécante va avec le cosinus.

Les éléments suivants (en particulier le premier des trois ci-dessous) sont appelés identités " pythagoriciennes ".

Notez que les trois identités ci-dessus impliquent toutes la quadrature et le nombre 1 . Vous pouvez voir clairement la relation Pythagore-Thereom si vous considérez le cercle unité, où l'angle est t, le côté "opposé" est sin(t) = oui, le côté "adjacent" est cos(t) = X , et l' hypoténuse est 1 .

Nous avons des identités supplémentaires liées à l'état fonctionnel des ratios de déclenchement :

Notez en particulier que le sinus et la tangente sont des fonctions impaires, symétriques par rapport à l'origine, tandis que le cosinus est une fonction paire, étant symétrique par rapport au oui -axe. Le fait que vous puissiez sortir le signe "moins" de l'argument (pour le sinus et la tangente) ou l'éliminer complètement (pour le cosinus) peut être utile lorsque vous travaillez avec des expressions compliquées.

Identités Angle-Somme et -Différence

À propos, dans les identités ci-dessus, les angles sont désignés par des lettres grecques. La lettre de type a, " &alpha ", est appelée " alpha ", qui se prononce " AL-fuh ". La lettre de type b, " &beta ", est appelée " beta ", qui se prononce " BAY-tuh ".


Trigonométrie - Sin, Cos, Tan, Cot

péché : R -> R
Toutes les fonctions trigonométriques sont périodiques. La période de péché est de 2$pi$ .
La plage de la fonction est [-1,1].

La fonction cosinus

cos : R -> R
La période de péché est de 2$pi$ .
La plage de la fonction est [-1,1].

La fonction tangente

bronzage : R -> R
La plage de la fonction est R . Maintenant, la période est $pi$ et la fonction est indéfinie à x = ($pi$/2) + k$pi$, k=0,1,2.
Le graphique de la fonction tangente sur l'intervalle 0 - $pi$

La fonction cotangente

lit bébé : R -> R
La plage de la fonction est R . La période est $pi$ et que la fonction est indéfinie à x = k$pi$, k=0,1,2.

Les valeurs de sin, cos, tan, cot aux angles de 0°, 30°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°,&330°,

$A^o$ ^o$ $30^o$ $45^o$ $60^o$ $90^o$ 120$^o$ 135$^o$ 150$^o$ 180$^o$ $210^o$ 225$^o$ 240$^o$ $270^o$ 300$^o$ $315^o$ $330^o$ $360^o$
$Un rad$ $ $frac<6>$ $frac<4>$ $frac<3>$ $frac<2>$ $frac<2pi><3>$ $frac<3pi><4>$ $frac<5pi><6>$ $pi$ $frac<7pi><6>$ $frac<5pi><4>$ $frac<4pi><3>$ $frac<3pi><2>$ $frac<5pi><3>$ $frac<7pi><4>$ $frac<11pi><6>$ $2pi$
$sin A$ $ $frac<1><2>$ $frac><2>$ $frac><2>$ $1$ $frac><2>$ $frac><2>$ $frac<1><2>$ $ $-frac<1><2>$ $-frac><2>$ $-frac><2>$ $-1$ $-frac><2>$ $-frac><2>$ $-frac<1><2>$ $
$cos A$ $1$ $frac><2>$ $frac><2>$ $frac<1><2>$ $ $-frac<1><2>$ $-frac><2>$ $-frac><2>$ $-1$ $-frac><2>$ $-frac><2>$ $-frac<1><2>$ $ $frac<1><2>$ $frac><2>$ $frac><2>$ $1$
$ an A$ $ $frac><3>$ $1$ $sqrt<3>$ $-$ $-sqrt<3>$ $-1$ $-frac><3>$ $ $frac><3>$ $1$ $sqrt<3>$ $-$ $-sqrt<3>$ $-1$ $-frac><3>$ $
$lit A$ $-$ $sqrt<3>$ $1$ $frac><3>$ $ $-frac><3>$ $-1$ $-sqrt<3>$ $-$ $sqrt<3>$ $1$ $frac><3>$ $ $-frac><3>$ $-1$ $-sqrt<3>$ $-$

Le moyen le plus simple de se souvenir des valeurs fondamentales du péché et du cos aux angles 0°, 30°, 60°, 90° :
sin([0, 30, 45, 60, 90]) = cos([90, 60, 45, 30, 0]) = sqrt([0, 1, 2, 3, 4]/4)

Identités trigonométriques de base

Pour chaque angle A correspond exactement un point P(cos(A),sin(A)) sur le cercle unité.


Formule très très importante :

$ début &Couleur<1>: sin alpha = sin eta &color<2>: cos alpha = cos eta Rightarrow alpha = eta + 2kpi ou &hspace <4.5cm>alpha = - eta + 2kpi & Couleur<3>: an alpha = an eta Rightarrow alpha = eta + kpi end $

Équations trigonométriques de base :

Solution : On sait que le $sinfrac<6>=frac<1><2>$ et donc

Solution : On sait que le $cos ( frac <4>) = frac<2>$ et donc

Solution : On sait que le $ an <3>> = sqrt<3>$ et donc

Équations trigonométriques avancées

Étape 1 : Pour résoudre $x$, vous devez d'abord isoler le terme sinus.

$ début 2sin(2x) - 1 &= 0 2sin(2x) &= 1 sin(2x) &= frac<1> <2>end $

Étape 2 : On sait que $sin(frac<6>) = frac<1><2>$ et donc

$ début sin (2x) = sin ( frac <6>)mathop o limits^> &2x = frac <6>+ kpi hspace <0.5cm> ext hspace <0,5cm> o x = frac <12>+ kpi hspace <0,5cm> ext &2x = frac <5pi> <6>+ 2kpi hspace <1.7cm>x = frac<5pi> <12>+ kpi end $

Étape 1 : Pour résoudre $x$, vous devez d'abord isoler le terme tangent.

Étape 2 : On sait que $ an (frac<6>) = frac><3>$ et $ an (-frac<6>) = - frac><3>$, donc

$ début an (x) = an (frac<6>) &Rightarrow x = frac <6>+ kpi ext an (x) = an (-frac<6>) &Rightarrow x = -frac <6>+ kpi end $

Étape 1 : Pour résoudre $x$, vous devez d'abord isoler le terme cosinus.

Étape 2 : On sait que $cos (frac<3>) = frac<1><2>$, donc

$ début cos (2x - frac<3>) = cos (frac<3>)mathop o limits^> &2x - frac <3>+ 2kpi ext o 2x = frac <6>+ 2kpi ext o x = frac<12>+kpi ext &2x - frac <3>= -frac <3>+ 2kpi hspace <1cm>2x = 0 + 2kpi hspace <1cm>x = kpi finir $


Quadrants en trigonométrie

Les signes des trois fonctions trigonométriques de base, sin, cos et tan, varient en fonction du quadrant dans lequel elles se trouvent. Le signe de chaque fonction trigonométrique dans chaque quadrant peut être déterminé à l'aide des signes des coordonnées ainsi que des relations trigonométriques de base. Le schéma ci-dessous montre les signes de ces fonctions dans différents quadrants.


Le saviez-vous?

La première partie du mot "quadrant" vient d'une racine latine signifiant quatre.

Un nom populaire pour un véhicule tout-terrain (VTT) est « quad », du nom de ses quatre gros pneus.

D'autres mots basés sur la même racine incluent : quadrilatère, quadruplets, quadrillion.


Voir la vidéo: Sinin ja kosinin ominaisuuksia - palautuskaavat (Novembre 2021).