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5.4E : Champs de vecteurs conservateurs (exercices) - Mathématiques


1. Vrai ou alors Faux? Si le champ vectoriel (vecs F) est conservateur sur la région ouverte et connexe (D), alors les intégrales de ligne de (vecs F) sont indépendantes du chemin sur (D), quelle que soit la forme de (RÉ).

Répondre:
Vrai

2. Vrai ou alors Faux? La fonction (vecs r(t)=vecs a+t(vecs b−vecs a)), où (0≤t≤1), paramétre le segment de droite de (vecs a ) à (vecs b).

Répondre:
Vrai

3. Vrai ou alors Faux? Champ vectoriel (vecs F(x,y,z)=(ysin z),mathbf{hat i}+(xsin z),mathbf{hat j}+(xy cos z),mathbf{hat k}) est conservateur.

Répondre:
Vrai

4. Vrai ou alors Faux? Champ vectoriel (vecs F(x,y,z)=y,mathbf{hat i}+(x+z),mathbf{hat j}−y,mathbf{hat k }) est conservateur.

5. Justifier le théorème fondamental des intégrales de droites pour (displaystyle int _Cvecs F·dvecs r) dans le cas où (vecs{F}(x,y)=(2x+2y), mathbf{hat i}+(2x+2y),mathbf{hat j}) et (C) est une portion du cercle orienté positivement (x^2+y^2=25) de ((5, 0)) à ((3, 4).)

Répondre:
(displaystyle int _C vecs F·dvecs r=24) unités de travail

6. [T] Trouvez (displaystyle int _Cvecs F·dvecs r,) où (vecs{F}(x,y)=(ye^{xy}+cos x),mathbf{ hat i}+left(xe^{xy}+frac{1}{y^2+1} ight),mathbf{hat j}) et (C) est une portion de courbe (y=sin x) de (x=0) à (x=frac{π}{2}).

7. [T] Évaluer l'intégrale de ligne (displaystyle int _Cvecs F·dvecs r), où (vecs{F}(x,y)=(e^xsin y−y),mathbf{ hat i}+(e^xcos y−x−2),mathbf{hat j}), et (C) est le chemin donné par (vecs r(t)=( t^3sinfrac{πt}{2}),mathbf{hat i}−(frac{π}{2}cos(frac{πt}{2}+frac{π} {2})),mathbf{hat j}) pour (0≤t≤1).

Répondre:
(displaystyle int _Cvecs F·dvecs r=left(e−frac{3π}{2} ight)) unités de travail

Pour les exercices suivants, déterminez si le champ vectoriel est conservateur et, si c'est le cas, trouvez la fonction potentielle.

8. (vecs{F}(x,y)=2xy^3,mathbf{hat i}+3y^2x^2,mathbf{hat j})

9. (vecs{F}(x,y)=(−y+e^xsin y),mathbf{hat i}+((x+2)e^xcos y), mathbf{hat j})

Répondre:
Pas conservateur

10. (vecs{F}(x,y)=(e^{2x}sin y),mathbf{hat i}+(e^{2x}cos y),mathbf{hat j})

11. (vecs{F}(x,y)=(6x+5y),mathbf{hat i}+(5x+4y),mathbf{hat j})

Répondre:
Conservateur, (f(x,y)=3x^2+5xy+2y^2+k)

12. (vecs{F}(x,y)=(2xcos(y)−ycos(x)),mathbf{hat i}+(−x^2sin(y)− sin(x)),mathbf{hat j})

13. (vecs{F}(x,y)=(ye^x+sin(y)),mathbf{hat i}+(e^x+xcos(y)),mathbf{ ça j})

Répondre:
Conservateur, (f(x,y)=ye^x+xsin(y)+k)

Pour les exercices suivants, évaluez les intégrales de droites à l'aide du théorème fondamental des intégrales de droites.

14. (displaystyle ∮_C(y,mathbf{hat i}+x,mathbf{hat j})·dvecs r,) où (C) est un chemin quelconque de (( 0, 0)) à ((2, 4))

15. (displaystyle ∮_C(2y,dx+2x,dy),) où (C) est le segment de ligne de ((0, 0)) à ((4, 4))

Répondre:
(displaystyle ∮_C(2y,dx+2x,dy)=32) unités de travail

16. [T] (displaystyle ∮_Cleft[arctandfrac{y}{x}−dfrac{xy}{x^2+y^2} ight],dx+left[dfrac{x^2} {x^2+y^2}+e^{−y}(1−y) ight],dy), où (C) est une courbe lisse de ((1, 1)) à ((−1,2).)

17. Trouver le champ vectoriel conservateur pour la fonction potentielle (f(x,y)=5x^2+3xy+10y^2.)

Répondre:
(vecs{F}(x,y)=(10x+3y),mathbf{hat i}+(3x+20y),mathbf{hat j})

Pour les exercices suivants, déterminez si le champ vectoriel est conservateur et, si c'est le cas, trouvez une fonction potentielle.

18. (vecs{F}(x,y)=(12xy),mathbf{hat i}+6(x^2+y^2),mathbf{hat j})

19. (vecs{F}(x,y)=(e^xcos y),mathbf{hat i}+6(e^xsin y),mathbf{hat j} )

Répondre:
(vecs F) n'est pas conservateur.

20. (vecs{F}(x,y)=(2xye^{x^2y}),mathbf{hat i}+6(x^2e^{x^2y}),mathbf{ chapeau j})

21. (vecs F(x,y,z)=(ye^z),mathbf{hat i}+(xe^z),mathbf{hat j}+(xye^z), mathbf{hat k})

Répondre:
(vecs F) est conservatrice et une fonction potentielle est (f(x,y,z)=xye^z+k).

22. (vecs F(x,y,z)=(sin y),mathbf{hat i}−(xcos y),mathbf{hat j}+,mathbf{ chapeau k})

23. (vecs F(x,y,z)=dfrac{1}{y},mathbf{hat i}-dfrac{x}{y^2},mathbf{hat j} +(2z−1),mathbf{hat k})

Répondre:
(vecs F) est conservatrice et une fonction potentielle est (f(x,y,z)=dfrac{x}{y}+z^2-z+k.)

24. (vecs F(x,y,z)=3z^2,mathbf{hat i}−cos y,mathbf{hat j}+2xz,mathbf{hat k} )

25. (vecs F(x,y,z)=(2xy),mathbf{hat i}+(x^2+2yz),mathbf{hat j}+y^2,mathbf {hat k})

Répondre:
(vecs F) est conservatrice et une fonction potentielle est (f(x,y,z)=x^2y+y^2z+k.)

Pour les exercices suivants, déterminez si le champ vectoriel donné est conservateur et trouvez une fonction potentielle.

26. (vecs{F}(x,y)=(e^xcos y),mathbf{hat i}+6(e^xsin y),mathbf{hat j} )

27. (vecs{F}(x,y)=(2xye^{x^2y}),mathbf{hat i}+6(x^2e^{x^2y}),mathbf{ chapeau j})

Répondre:
(vecs F) est conservatrice et une fonction potentielle est (f(x,y)=e^{x^2y}+k)

Pour les exercices suivants, évaluez l'intégrale à l'aide du théorème fondamental des intégrales de droites.

28. Évaluer (displaystyle int _Cvecs ∇f·dvecs r), où (f(x,y,z)=cos(πx)+sin(πy)−xyz) et ( C) est tout chemin qui commence à ((1,12,2)) et se termine à ((2,1,−1)).

29. [T] Évaluer (displaystyle int _Cvecs ∇f·dvecs r), où (f(x,y)=xy+e^x) et (C) est une ligne droite de ( (0,0)) à ((2,1)).

Répondre:
(displaystyle int _Cvecs F·dvecs r=left(e^2+1 ight)) unités de travail

30. [T] Évaluer (displaystyle int _Cvecs ∇f·dvecs r,) où (f(x,y)=x^2y−x) et (C) est n'importe quel chemin dans un plan de (1, 2) à (3, 2).

31. Évaluer (displaystyle int _Cvecs ∇f·dvecs r,) où (f(x,y,z)=xyz^2−yz) et (C) a le point initial ( (1, 2, 3)) et point terminal ((3, 5, 2).)

Répondre:
(displaystyle int _Cvecs F·dvecs r=38) unités de travail

Pour les exercices suivants, laissez (vecs{F}(x,y)=2xy^2,mathbf{hat i}+(2yx^2+2y),mathbf{hat j}) et (G(x,y)=(y+x),mathbf{hat i}+(y−x),mathbf{hat j}), et soit (C_1) la courbe constituée du cercle de rayon 2, centré à l'origine et orienté dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, et(C_2) la courbe constituée d'un segment de droite de ((0, 0) ) à ((1, 1)) suivi d'un segment de ligne de ((1, 1)) à ((3, 1).)

32. Calculez l'intégrale linéaire de (vecs F) sur (C_1).

33. Calculez l'intégrale linéaire de (vecs G) sur (C_1).

Répondre:
(displaystyle ∮_{C_1}vecs G·dvecs r=−8π) unités de travail

34. Calculez l'intégrale linéaire de (vecs F) sur (C_2).

35. Calculez l'intégrale linéaire de (vecs G) sur (C_2).

Répondre:
(displaystyle ∮_{C_2}vecs F·dvecs r=7) unités de travail

36. [T] Soit (vecs F(x,y,z)=x^2,mathbf{hat i}+zsin(yz),mathbf{hat j}+ysin(yz) ,mathbf{hat k}). Calculez (displaystyle ∮_Cvecs F·dvecs{r}), où (C) est un chemin de (A=(0,0,1)) à (B=(3 ,1,2)).

37. [T] Trouver l'intégrale de ligne (displaystyle ∮_Cvecs F·dr) du champ vectoriel (vecs F(x,y,z)=3x^2z,mathbf{hat i}+z^2, mathbf{hat j}+(x^3+2yz),mathbf{hat k}) le long de la courbe (C) paramétrée par (vecs r(t)=(frac{ln t}{ln 2}),mathbf{hat i}+t^{3/2},mathbf{hat j}+tcos(πt),1≤t≤4.)

Répondre:
(displaystyle int _Cvecs F·dvecs r=150) unités de travail

Pour les exercices 38 - 40, montrez que les champs de vecteurs suivants sont conservateurs. Calculer ensuite (displaystyle int _Cvecs F·dvecs r) pour la courbe donnée.

38. (vecs{F}(x,y)=(xy^2+3x^2y),mathbf{hat i}+(x+y)x^2,mathbf{hat j} ); (C) est la courbe constituée de segments de droite de ((1,1)) à ((0,2)) à ((3,0).)

39. (vecs{F}(x,y)=dfrac{2x}{y^2+1},mathbf{hat i}−dfrac{2y(x^2+1)}{(y ^2+1)^2},mathbf{hat j}); (C) est paramétré par (x=t^3−1,;y=t^6−t), pour (0≤t≤1.)

Répondre:
(displaystyle int _Cvecs F·dvecs r=−1) unités de travail

40. [T] (vecs{F}(x,y)=[cos(xy^2)−xy^2sin(xy^2)],mathbf{hat i}−2x^2ysin(xy ^2),mathbf{hat j}); (C) est la courbe (langle e^t,e^{t+1} angle,) pour (−1≤t≤0).

41. La masse de la Terre est d'environ (6×10^{27}g) et celle du Soleil est 330 000 fois plus. La constante gravitationnelle est (6,7×10^{−8}cm^3/s^2·g). La distance de la Terre au Soleil est d'environ (1,5×10^{12}cm). Calculez, approximativement, le travail nécessaire pour augmenter la distance de la Terre au Soleil de (1;cm).

Répondre:
(4×10^{31}) erg

42. [T] Soit (vecs{F}(x,y,z)=(e^xsin y),mathbf{hat i}+(e^xcos y),mathbf{hat j }+z^2,mathbf{hat k}). Évaluer l'intégrale (displaystyle int _Cvecs F·dvecs r), où (vecs r(t)=langlesqrt{t},t^3,e^{sqrt{t }} angle,) pour (0≤t≤1.)

43. [T] Soit (C:[1,2]→ℝ^2) donné par (x=e^{t−1},y=sinleft(frac{π}{t} ight) ). Utilisez un ordinateur pour calculer l'intégrale (displaystyle int _Cvecs F·dvecs r=int _C 2xcos y,dx−x^2sin y,dy), où ( vecs{F}(x,y)=(2xcos y),mathbf{hat i}−(x^2sin y),mathbf{hat j}.)

Répondre:
(displaystyle int _Cvecs F·dvecs s=0.4687) unités de travail

44. [T] Utilisez un système de calcul formel pour trouver la masse d'un fil qui se trouve le long de la courbe (vecs r(t)=(t^2−1),mathbf{hat j}+2t,mathbf{ hat k},) où (0≤t≤1), si la densité est donnée par (d(t) = dfrac{3}{2}t).

45. Trouver la circulation et le flux du champ (vecs{F}(x,y)=−y,mathbf{hat i}+x,mathbf{hat j}) autour et à travers le demi-cercle fermé chemin qui consiste en un arc en plein cintre (vecs r_1(t)=(acos t),mathbf{hat i}+(asin t),mathbf{hat j},quad 0 ≤t≤π), suivi du segment de ligne (vecs r_2(t)=t,mathbf{hat i},quad −a≤t≤a.)

Répondre:
( ext{circulation}=πa^2) et ( ext{flux}=0)

46. Calculer (displaystyle int _Ccos xcos y,dx−sin xsin y,dy,) où (vecs r(t)=langle t,t^2 angle, quad 0≤t≤1.)

47. Complétez la preuve du théorème intitulé LE TEST D'INDÉPENDANCE DU CHEMIN POUR LES CHAMPS CONSERVATEURS en montrant que (f_y=Q(x,y).)

Gilbert Strang (MIT) et Edwin « Jed » Herman (Harvey Mudd) avec de nombreux auteurs contributeurs. Ce contenu d'OpenStax est sous licence CC-BY-SA-NC 4.0. Téléchargez gratuitement sur http://cnx.org.


5.7 Champs vectoriels qui sont des dégradés ou des boucles

Étant donné une fonction (f) ou un champ de vecteurs (fF) , nous pouvons facilement calculer ( abla f) ou (curl fF) . Ici, nous posons une sorte de question « inverse ». Étant donné un champ de vecteurs (fG) , peut-on déterminer :

  • existe-t-il une fonction (f) telle que (fG = abla f) ? Si oui, peut-on trouver (f) ?
  • existe-t-il un champ vectoriel (fF) tel que (fG = curl fF) ? Si oui, peut-on trouver (fF) ?

Nous discuterons d'abord des gradients.


1 réponse 1

On m'a toujours dit que pour savoir si un champ est conservateur ou non, il faut voir si la boucle est nulle.

C'est presque toujours vrai, mais pas toujours vrai.

On m'a maintenant dit que le simple fait que la boucle soit nulle ne signifie pas nécessairement qu'elle est conservatrice.

Pour illustrer ce qui se passe, prenons un exemple. Considérons le champ vectoriel suivant : $vec(x,y)=frac<-yhat+x chapeau>.$ Notez que $vec$ n'est pas défini à l'origine. Est $vec$ conservateur ? Définissons "conservateur" comme suit

Un champ vectoriel $vec$ est conservateur si pour tout chemin fermé $C$, l'intégrale $int_C vecdot,dvec=0.$

Considérons le chemin paramétré comme $x(t)=rcos(2pi t)$ et $y(t)=rsin(2 pi t)$ pour $t$ allant de 0 à 1. Ce chemin est juste un cercle de rayon $r$ centré sur l'origine. Le déplacement sur le chemin est

$frac<>>

= 2pi r left( - hatsin(2pi t) + hatcos(2pi t) ight).$

Si nous intégrons notre exemple $vec$ sur ce chemin, nous obtenons

$commencer int_C veccdot dvec &=int_^1 left( frac<-yhat+x chapeau> ight) cdot (2pi r) left( -hatsin(2pi t) + hatcos(2pi t) ight),dt &= 2pi end$ qui montre que $vec$ n'est certainement pas conservateur. Notez que l'intégrale ne dépend pas du rayon $r$ du chemin.

Maintenant, nous calculons le curl de $vec$. Pour plus de commodité, définissez $requiv x^2 + y^2$, c'est-à-dire que $r$ est la coordonnée polaire radiale.

$commencer abla imes vec &équiv frac<>_y> - frac<>_x> &=frac - frac<-r^2 + 2 y^2> &= frac<2r^2 - 2r^2> &= 0. end$ Nous avons maintenant montré que $vec$ a zéro curl. Une conséquence de ceci est que si nous devions intégrer $vec$ le long d'un petit chemin autour d'un point où $vec$ est défini, nous sommes assurés d'obtenir zéro.

Ainsi, $vec$ a zéro curl mais n'est pas conservateur. Qu'est-ce qui se passe?

Si vous imaginez $vec$ vous verrez qu'il s'agit d'un tourbillon de lignes vectorielles encerclant l'origine. L'amplitude des lignes diminue à mesure que vous vous éloignez de l'origine. Cette diminution est juste pour que si vous deviez intégrer autour d'une petite boucle qui n'encercle pas l'origine (c'est-à-dire si vous vérifiez la boucle) vous obtenez zéro. Cependant, en raison de l'encerclement global autour de l'origine, si vous intégrez le long d'une boucle qui englobe l'origine, vous obtenez quelque chose de non nul. Ainsi, vous pouvez considérer l'intégrale comme soit "sentir" la présence de l'origine et récupérer les $2pi$ que nous avons calculés, soit ne pas ressentir l'origine et donner zéro. C'est comme si l'origine était un point spécial d'une valeur de $2pi$.

C'est vraiment intéressant ! Notre champ $vec$ est conservateur partout localement, mais si vous faites un chemin autour de l'origine, vous pouvez obtenir une intégrale non nulle, donc $vec$ n'est pas conservateur à l'échelle mondiale.

Rappelez-vous que nous avons souligné que $vec$ n'est pas défini à l'origine ? Ce n'est pas un accident. Champs de vecteurs conservateurs localement mais pas globalement doit ont des "trous" auxquels ils ne sont pas définis. En fait, ces champs de vecteurs doivent approcher l'infini près de leurs trous, ce qui $vec$ l'est très certainement, comme vous pouvez le vérifier [1]. Ces points infinis ont des "résidus" qui apparaissent dans les intégrales qui les entourent. Pour les experts de l'auditoire, c'est exactement le même résidu que vous obtenez en intégrant autour d'un pôle simple dans le plan complexe.

Revenons à ta question

Pour montrer que c'est conservateur, j'irais de l'avant et prendrais la boucle. Ce sera zéro - mais ce n'est pas une preuve définitive qu'il est conservateur ? Comment pourrais-je montrer que c'est ?

Comme vous l'avez dit, et nous l'avons démontré, avoir une boucle nulle ne garantit pas qu'un champ est conservateur. Quoi Est-ce que garantir qu'un champ est conservateur est que vous pouvez l'exprimer comme le gradient d'une fonction scalaire. En termes mathématiques plus généraux, s'il existe une fonction $f$ telle que $ abla f = vec$, puis $vec$ est dit exact. Un champ vectoriel exact est absolument garanti à 100% à conservateur.

Donc, une réponse à votre question est que pour montrer qu'un champ vectoriel est conservateur, montrez simplement qu'il peut être écrit comme le gradient d'une fonction. Une autre réponse est de calculer l'intégrale générale du chemin fermé du champ vectoriel et de montrer qu'elle est identique à zéro dans tous les cas.

Continuons cependant, car ce sont des choses vraiment super intéressantes.

Les champs vectoriels avec zéro curl sont garantis exacts, ce qui signifie que zéro curl garantit la prudence, sauf si le champ vectoriel a des trous (c'est-à-dire les points auxquels il n'est pas défini). Ainsi, le mantra que vous avez appris que zéro curl indique que la prudence est presque toujours vrai, mais il échoue pour les champs de vecteurs qui ont des trous, comme notre exemple $vec$ fait à l'origine.

Maintenant, voici la partie vraiment incroyable. Si je vous dis qu'un champ vectoriel a exactement 1 trou, et qu'il a zéro curl mais n'est pas exact, il n'y a que une champ vectoriel il peut éventuellement être (jusqu'à l'ajout d'autres champs vectoriels exacts). En d'autres termes, si je vous dis qu'un champ vectoriel $vec$ a zéro curl, a un trou et n'est un gradient d'aucune fonction, alors vous savez avec certitude que $vec=vec + vec$ où $vec = abla f$ pour certains $f$. Si vous répétez la même situation mais avec deux trous, alors vous savez que $vec$ est exprimable comme une combinaison linéaire de champs vectoriels spécifiques sans boucle mais pas exacts associés aux deux trous. Toute cette affaire se généralise aux espaces de grande dimension. Si vous l'aimez, lisez les formulaires différentiels. Vous pouvez essayer le livre "Analyse sur les collecteurs" par Munkres, bien que ce soit un livre très "mathy".

Une dernière chose. Au lieu de parler d'avoir une boucle nulle et d'être le gradient d'une fonction, vous pouvez parler d'avoir une divergence nulle et d'être la boucle d'un autre champ vectoriel. Normalement, si un champ vectoriel a une divergence nulle, vous pouvez l'écrire comme la boucle de quelque chose d'autre. Le champ électrique d'une charge ponctuelle est conservateur et a une divergence nulle. Cependant, ce n'est pas la boucle d'un champ vectoriel. En fait, c'est le seul $^<[2]>$ champ vectoriel en trois dimensions qui n'a aucune divergence et n'est pas une boucle de quelque chose d'autre. Et bien sûr, le champ électrique d'une charge ponctuelle va à l'infini au point de charge, c'est donc l'un de ces champs où avoir un "trou" permet de briser les règles habituelles. Comment la nature a-t-elle su faire cela ?

[1] Le numérateur de $vec$ va comme $r$ tandis que le dénominateur va comme $r^2$. Donc tout va comme $1/r$ qui diverge près de l'origine.


1 réponse 1

Pour de telles questions, il est évident qu'aucune réponse analytique n'est attendue.

Vos réponses sont correctes, je pense que c'est le type de raisonnement qui est attendu.

Une autre approche serait la suivante. Rappelons que la boucle d'un champ est liée à une rotation : plus précisément, une rotation autour de l'axe de la boucle, à une vitesse proportionnelle à l'amplitude de la boucle. Dans la première image, nous pouvons voir que le champ a tendance à tourner dans le sens antihoraire, donc la boucle n'est pas $vec<0>$, ce qui suggère que le champ n'est pas conservateur. Et pour le second, il ne semble pas y avoir de rotation spécifique, ce qui implique que le curl est $vec<0>$, et le champ conservateur.

Ceci étant dit, nous ne pouvons pas être sûrs à 100 %, comme vous l'avez dit, il est difficile de voir qu'il n'y a pas de contre-exemple, ou qu'il n'y a aucune rotation.

Donc pour conclure, je dirais garder les choses simples, je ne crois pas que ces exercices soient destinés à vous tromper, leur but est de vous faire comprendre les propriétés des champs vectoriels d'un point de vue graphique.


Aperçu des mathématiques

Voici deux exemples de tests pour savoir si les champs de vecteurs tridimensionnels sont conservateurs (ce qui est également appelé indépendant du chemin).

Exemple 1

L'intégrale $int_dlc (x^2-ze^y) dx + (y^3-xze^y) dy + (z^4-xe^y) dz$ dépend-elle du chemin spécifique $dlc$ prend?

Solution: Le. l'intégrale est du champ vectoriel $dlvf(x,y,z) = (x^2-ze^y, y^3-xze^y, z^4-xe^y)$. Le champ vectoriel $dlvf$ défini sur $R^3$, qui est simplement connexe. Nous pouvons montrer l'indépendance du chemin si la boucle est nulle.

Les dérivées partielles de $dlvf$ sont egin pdiff &= pdiff = -ze^y pdiff &= pdiff = -e^y pdiff &= pdiff = -xe^y. finir Par conséquent, le curl est nul et $dlvf$ est conservateur. L'intégrale de $dlvf$ ne dépend pas du chemin particulier emprunté par $dlc$, mais dépend uniquement des extrémités de la courbe.

Notez que l'indépendance du chemin ne dépend pas de $pdiff$, $pdiff$, ou $pdiff$. Vous pouvez également facilement conclure de cet exemple que egin dlvf(x,y,z) = (x^2-ze^y+x^<1000>, y^3-xze^y-cos y^<372>, z^4-xe^y+e ^) finir est aussi conservateur.

Exemple 2

L'intégrale $int_dlc (x^2-xe^y) dx + (y^3-xze^y) dy + (z^4-xe^y) dz$ dépend-elle du chemin spécifique $dlc$ prend?

Solution: L'intégrale est du champ vectoriel $dlvf(x,y,z) = (x^2-xe^y, y^3-xze^y, z^4-xe^y)$. Les dérivées partielles de $dlvf$ sont egin pdiff = -xe^y eq pdiff = -ze^y pdiff = 0 eq pdiff = -e^y pdiff = pdiff = -xe^y end La boucle de $dlvf$ n'est pas nulle, donc $dlvf$ dépend du chemin. L'intégrale dépendra, en général, du chemin spécifique de $dlc$.


Aperçu des mathématiques

Si le champ vectoriel $dlvf$ est un champ vectoriel conservateur (également appelé champ vectoriel indépendant du chemin), alors l'intégrale de ligne egin dlint end ne dépend pas du chemin réel que $dlc$ prend l'intégrale ne dépend que du point de départ (appelez-le $vc

$) et le point final (appelez-le $vc$) de la courbe $dlc$.

Supposons, par exemple, que nous ayons deux courbes $dlc_1$ et $dlc_2$ reliant le point $vc

$ avec le point $vc$.

Alors nous savons que egin lint =lint label finir car $dlvf$ est conservateur.

Maintenant, ce qui se passerait, c'est que nous retournions le chemin $dlc_2$, de sorte qu'il commence au point $vc$ et se termine au point $vc

$? (Nous noterons cette courbe avec l'orientation opposée par $dlc_2^-$.) En tout point, le vecteur tangent de $dlc_2^-$ sera l'opposé du vecteur tangent de $dlc_2$ car le chemin est aller dans la direction opposée. Par conséquent egin lint = -lint. étiqueter finir

Si nous définissons la courbe $dlc$ comme étant la courbe $dlc_1$ suivie de la courbe $dlc_2^-$, le chemin de $dlc$ commencera au point $vc

$, allez au point $vc$ (via $dlc_1$) puis revenez au point $vc

$ (via $dlc_2^-$). En d'autres termes, le $dlc$ sera une courbe fermée.

L'intégrale de ligne sur $dlc$ est simplement l'intégrale de ligne sur $dlc_1$ plus l'intégrale de ligne sur $dlc_2^-$. En combinant les deux équations ci-dessus, nous voyons que ces intégrales sont opposées egin lint = -lint. finir Nous concluons que l'intégrale de ligne sur $dlc$ est nulle : egin dlint = lint + lint =0. finir

Si $dlc$ est une courbe fermée, on appelle l'intégrale egin dlint end les circulation de $dlvf$ autour de $dlc$. Si $dlvf$ représente l'écoulement du fluide, cette intégrale indique la tendance du fluide à circuler autour de la courbe $dlc$. Nous pourrions utiliser l'argument ci-dessus pour montrer que $dlvf$ est conservateur si et seulement si la circulation autour quelconque courbe fermée est nulle.

Nous pouvons utiliser ce résultat comme test de dépendance au chemin. Si nous pouvons trouver une seule courbe fermée $dlc$ où egin dlint e 0, end alors nous savons que $dlvf$ est dépendant du chemin. Pour l'exemple de champ vectoriel $dlvf(x,y) = (y, -x)$ présenté à la fin de l'introduction aux champs conservateurs, on peut voir la circulation non nulle autour de tout chemin circulaire centré à l'origine. Cette observation est suffisante pour conclure que $dlvf$ est dépendant du chemin.

Le point clé à retenir est que l'indépendance du chemin signifie qu'il n'y a pas de circulation autour d'une courbe fermée.


Aperçu des mathématiques

Le processus de recherche d'une fonction potentielle d'un champ vectoriel conservateur est une procédure en plusieurs étapes qui implique à la fois l'intégration et la différenciation, tout en accordant une attention particulière aux variables que vous intégrez ou différenciez. Pour cette raison, étant donné un champ vectoriel $dlvf$, nous vous recommandons de déterminer d'abord que $dlvf$ est bien conservateur avant de commencer cette procédure. De cette façon, vous savez qu'une fonction potentielle existe, donc la procédure devrait fonctionner à la fin.

Dans cette page, nous nous concentrons sur la recherche d'une fonction potentielle d'un champ vectoriel conservateur à deux dimensions. Nous abordons les champs tridimensionnels dans une autre page.

Nous introduisons la procédure pour trouver une fonction potentielle via un exemple. Utilisons le champ vectoriel egin dlvf(x,y) = (y cos x+y^2, sin x+2xy-2y). finir

La première étape consiste à vérifier si $dlvf$ est conservateur. Depuis egin pdiff &= pdiff<>(sin x+2xy-2y) = cos x+2y pdiff &= pdiff<>(y cos x+y^2) = cos x+2y, end nous concluons que la boucle scalaire de $dlvf$ est nulle, car egin pdiff - pdiff = 0. fin Ensuite, nous observons que $dlvf$ est défini sur tout $R^2$, il n'y a donc pas de trucs à craindre. Le champ de vecteurs $dlvf$ est en effet conservateur.

Puisque $dlvf$ est conservateur, nous savons qu'il existe une fonction potentielle $f$ telle que $ abla f = dlvf$. Comme première étape vers la recherche de $f$, nous observons que la condition $ abla f = dlvf$ signifie que egin gauche(pdiff,pdiff ight) &= (dlvfc_1, dlvfc_2) &= (y cos x+y^2, sin x+2xy-2y). finir Cette équation vectorielle est constituée de deux équations scalaires, une pour chaque composante. Nous devons trouver une fonction $f(x,y)$ qui satisfasse les deux conditions egin pdiff(x,y) = y cos x+y^2 label finir et egin pdiff(x,y) = sin x+2xy -2y. étiqueter finir Prenons ces conditions une par une et voyons si nous pouvons trouver un $f(x,y)$ qui satisfasse les deux. (Nous savons que cela est possible car $dlvf$ est conservateur. Si $dlvf$ dépendait du chemin, la procédure qui suit rencontrerait un problème quelque part.)

Commençons par la condition eqref. On peut prendre l'équation egin pdiff(x,y) = y cos x+y^2, end et traitez $y$ comme s'il s'agissait d'un nombre. En d'autres termes, nous prétendons que l'équation est egin diff(x) = a cos x + a^2 end pour un certain nombre $a$. Nous pouvons intégrer l'équation par rapport à $x$ et obtenir que egin f(x)= a sin x + a^2x +C. finir Mais, alors nous devons nous rappeler que $a$ était vraiment la variable $y$ de sorte que egin f(x,y) = y sin x + y^2x +C. finir Mais en fait, ce n'est pas encore juste non plus. Puisque nous considérions $y$ comme une constante, l'intégration &ldquoconstant&rdquo $C$ pourrait être une fonction de $y$ et cela ne ferait aucune différence. La dérivée partielle de toute fonction de $y$ par rapport à $x$ est nulle. Nous pouvons remplacer $C$ par n'importe quelle fonction de $y$, disons $g(y)$, et conditionner eqref sera satisfait. Une nouvelle expression pour la fonction potentielle est egin f(x,y) = y sin x + y^2x +g(y). étiqueter finir Si vous êtes toujours sceptique, essayez de prendre la dérivée partielle par rapport à $x$ de $f(x,y)$ définie par l'équation eqref. Puisque $g(y)$ ne dépend pas de $x$, nous pouvons conclure que $displaystyle pdiff<> g(y) = 0$. En effet, la condition eqref est satisfait pour le $f(x,y)$ de l'équation eqref.

Maintenant, nous devons satisfaire la condition eqref. On peut prendre le $f(x,y)$ de l'équation eqref (on sait donc que la condition eqref sera satisfait) et prendre sa dérivée partielle par rapport à $y$, obtenant egin pdiff(x,y) &= pdiff<> left( y sin x + y^2x +g(y) ight) &= sin x + 2yx + diff(y). finir En comparant cela à la condition eqref, nous avons de la chance. On peut facilement faire en sorte que $f(x,y)$ satisfasse la condition eqref tant que egin diff(y)=-2y. finir Si le champ vectoriel $dlvf$ avait été dépendant du chemin, nous aurions trouvé impossible de satisfaire à la fois la condition eqref et condition eqref. Nous aurions rencontré des problèmes à ce stade, car nous aurions trouvé que $diff$ devrait être une fonction de $x$ ainsi que de $y$. Depuis $diff$ est une fonction de $y$ seul, notre calcul vérifie que $dlvf$ est conservateur.

Si nous laissons egin g(y) = -y^2 +k end pour un $k$ constant, alors egin pdiff(x,y) = sin x + 2yx -2y, end et nous avons satisfait aux deux conditions.

En combinant cette définition de $g(y)$ avec l'équation eqref, nous concluons que la fonction egin f(x,y) = ysin x + y^2x -y^2 +k end est une fonction potentielle pour $dlvf.$ Vous pouvez vérifier qu'effectivement egin abla f = (ycos x + y^2, sin x + 2xy -2y) = dlvf(x,y). finir

Avec cela en main, le calcul de l'intégrale egin dlint end est simple, quel que soit le chemin $dlc$. Nous pouvons appliquer le théorème du gradient pour conclure que l'intégrale est simplement $f(vc)-f(vc

)$, où $vc

$ est le point de départ et $vc$ est le point final de $dlc$. (Pour cette raison, si $dlc$ est une courbe fermée, l'intégrale est nulle.)

Nous aimerions peut-être donner un problème tel que find egin dlint end où $dlc$ est la courbe donnée par le graphique suivant.

La réponse est simplement egin dlint &= f(pi/2,-1) - f(-pi,2) &=-sin pi/2 + frac<2>-1 + k - ( 2 sin (-pi) - 4pi -4 + k) &=- sin pi/2 + frac<9pi> <2>+3= frac<9pi> < 2>+2 fin (La constante $k$ est toujours garantie pour s'annuler, vous pouvez donc simplement définir $k=0$.)

Si la courbe $dlc$ est compliquée, on espère que $dlvf$ est conservatrice. C'est toujours une bonne idée de vérifier si $dlvf$ est conservateur avant de calculer son intégrale de ligne egin dlint. finir Vous pourriez vous épargner beaucoup de travail.


Aperçu des mathématiques

Un champ de vecteurs conservateur (également appelé champ de vecteurs indépendant du chemin) est un champ de vecteurs $dlvf$ dont la ligne intégrale $dlint$ sur toute courbe $dlc$ ne dépend que des extrémités de $dlc$. L'intégrale est indépendante du chemin que $dlc$ emprunte depuis son point de départ jusqu'à son point d'arrivée. L'applet ci-dessous illustre le champ vectoriel conservateur bidimensionnel $dlvf(x,y)=(x,y)$.

Comment déterminer si un champ de vecteurs est conservateur ? Vérifier directement si une ligne intégrale ne dépend pas du chemin est évidemment impossible, car vous devriez vérifier un nombre infini de chemins entre n'importe quelle paire de points. Mais, si vous trouviez deux chemins qui donnaient des valeurs différentes de l'intégrale, vous pourriez conclure que le champ vectoriel était dépendant du chemin.

Voici quelques options qui pourraient être utiles dans différentes circonstances.

Comme mentionné dans le contexte du théorème du gradient, un champ de vecteurs $dlvf$ est conservateur si et seulement s'il a une fonction potentielle $f$ avec $dlvf = abla f$. Par conséquent, si on vous donne une fonction potentielle $f$ ou si vous pouvez en trouver une, et que cette fonction potentielle est définie partout, alors il n'y a plus rien à faire. Vous savez que $dlvf$ est un champ vectoriel conservateur, et vous n'avez pas à vous soucier des autres tests que nous mentionnons ici. De même, si vous pouvez démontrer qu'il est impossible de trouver une fonction $f$ qui satisfasse $dlvf = abla f$, alors vous pouvez également conclure que $dlvf$ est non conservateur ou dépendant du chemin.

Pour cette raison, vous pouvez ignorer cette discussion sur les tests de dépendance au chemin et accéder directement à la procédure de recherche de la fonction potentielle. Si cette procédure fonctionne ou si elle échoue, vous avez trouvé votre réponse pour savoir si $dlvf$ est conservateur ou non. Cependant, si vous êtes comme beaucoup d'entre nous et êtes enclin à faire une erreur ou deux dans une procédure en plusieurs étapes, vous bénéficierez probablement d'autres tests qui pourraient rapidement déterminer l'indépendance du chemin. De cette façon, vous pourriez éviter de chercher une fonction potentielle alors qu'elle n'existe pas et bénéficier de tests qui confirment vos calculs.

Un autre test possible concerne le lien entre l'indépendance du chemin et la circulation. On peut montrer qu'un champ de vecteurs conservateur $dlvf$ n'aura aucune circulation autour d'une courbe fermée $dlc$, ce qui signifie que son intégrale $dlint$ autour de $dlc$ doit être nulle. Si vous pouviez en quelque sorte montrer que $dlint=0$ pour chaque courbe fermée (difficile car il y en a un nombre infini), alors vous pourriez conclure que $dlvf$ est conservateur. Ou, si vous pouvez trouver une courbe fermée où l'intégrale est non nulle, alors vous avez montré qu'elle dépend du chemin.

Bien que la vérification de la circulation ne soit pas un test pratique pour l'indépendance du chemin, le fait que l'indépendance du chemin n'implique aucune circulation autour d'une courbe fermée est au cœur de ce que signifie pour un champ de vecteurs être conservateur.

Si $dlvf$ est un champ vectoriel à trois dimensions, $dlvf : R^3 o R^3$ (confus ?), alors nous pouvons dériver une autre condition. Cette condition est basée sur le fait qu'un champ de vecteurs $dlvf$ est conservateur si et seulement si $dlvf = abla f$ pour une fonction potentielle. On peut calculer que la boucle d'un gradient est nulle, $curl abla f = vc<0>$, pour tout $f deux fois continûment différentiable : R^3 o R$. Par conséquent, si $dlvf$ est conservateur, alors sa boucle doit être nulle, car $curl dlvf = curl abla f = vc<0>$.

Pour un champ vectoriel bidimensionnel continûment différentiable, $dlvf : R^2 o R^2$, on peut de même conclure que si le champ vectoriel est conservateur, alors la boucle scalaire doit être nulle, $ pdiff< dlvfc_2>-pdiff = frac -frac =0.$

Nous devons être prudents ici. La déclaration valide est que si $dlvf$ est conservateur, alors son curl doit être égal à zéro. Sans conditions supplémentaires sur le champ vectoriel, l'inverse peut ne pas être vrai, donc nous ne peux pas conclure que $dlvf$ est conservateur simplement parce que sa boucle est nulle. Il existe des champs de vecteurs dépendants du chemin avec zéro curl. D'un autre côté, nous pouvons conclure que si le curl de $dlvf$ n'est pas nul, alors $dlvf$ doit être dépendant du chemin.

Peut-on obtenir un autre test permettant de déterminer avec certitude qu'un champ de vecteurs est conservateur ? On le peut en enchaînant les deux tests précédents (tests 2 et 3). Test 2 states that the lack of &ldquomacroscopic circulation&rdquo is sufficient to determine path-independence, but the problem is that lack of circulation around any closed curve is difficult to check directly. Test 3 says that a conservative vector field has no &ldquomicroscopic circulation&rdquo as captured by the curl. It's easy to test for lack of curl, but the problem is that lack of curl is not sufficient to determine path-independence.

What we need way to link the definite test of zero &ldquomacroscopic circulation&rdquo with the easy-to-check test of zero &ldquomicroscopic circulation.&rdquo This link is exactly what both Green's theorem and Stokes' theorem provide. Don't worry if you haven't learned both these theorems yet. The basic idea is simple enough: the &ldquomacroscopic circulation&rdquo around a closed curve is equal to the total &ldquomicroscopic circulation&rdquo in the planar region inside the curve (for two dimensions, Green's theorem) or in a surface whose boundary is the curve (for three dimensions, Stokes' theorem).

Let's examine the case of a two-dimensional vector field whose scalar curl $pdiff-pdiff$ is zero. If we have a closed curve $dlc$ where $dlvf$ is defined everywhere inside it, then we can apply Green's theorem to conclude that the &ldquomacroscopic circulation&rdquo $dlint$ around $dlc$ is equal to the total &ldquomicroscopic circulation&rdquo inside $dlc$. We can indeed conclude that the &ldquomacroscopic circulation&rdquo is zero from the fact that the &ldquomicroscopic circulation&rdquo $pdiff-pdiff$ is zero everywhere inside $dlc$.

According to test 2, to conclude that $dlvf$ is conservative, we need $dlint$ to be zero around tous closed curve $dlc$. If the vector field is defined inside every closed curve $dlc$ and the &ldquomicroscopic circulation&rdquo is zero everywhere inside each curve, then Green's theorem gives us exactly that condition. We can conclude that $dlint=0$ around every closed curve and the vector field is conservative.

The only way we could run into trouble is if there are some closed curves $dlc$ where $dlvf$ is not defined for some points inside the curve. In other words, if the region where $dlvf$ is defined has some holes in it, then we cannot apply Green's theorem for every closed curve $dlc$. In this case, we cannot be certain that zero &ldquomicroscopic circulation&rdquo implies zero &ldquomacroscopic circulation&rdquo and hence path-independence. Such a hole in the domain of definition of $dlvf$ was exactly what caused in the problem in our counterexample of a path-dependent field with zero curl.

On the other hand, we know we are safe if the region where $dlvf$ is defined is simply connected, i.e., the region has no holes through it. In this case, we know $dlvf$ is defined inside every closed curve $dlc$ and nothing tricky can happen. We can summarize our test for path-dependence of two-dimensional vector fields as follows.

If a vector field $dlvf: R^2 o R^2$ is continuously differentiable in a simply connected domain $dlr in R^2$ and its curl is zero, i.e., $pdiff-pdiff=0,$ everywhere in $dlr$, then $dlvf$ is conservative within the domain $dlr$.

It turns out the result for three-dimensions is essentially the same. If a vector field $dlvf: R^3 o R^3$ is continuously differentiable in a simply connected domain $dlv in R^3$ and its curl is zero, i.e., $curl dlvf = vc<0>$, everywhere in $dlv$, then $dlvf$ is conservative within the domain $dlv$.

One subtle difference between two and three dimensions is what it means for a region to be simply connected. Any hole in a two-dimensional domain is enough to make it non-simply connected. But, in three-dimensions, a simply-connected domain can have a hole in the center, as long as the hole doesn't go all the way through the domain, as illustrated in this figure.

The reason a hole in the center of a domain is not a problem in three dimensions is that we have more room to move around in 3D. If we have a curl-free vector field $dlvf$ (i.e., with no &ldquomicroscopic circulation&rdquo), we can use Stokes' theorem to infer the absence of &ldquomacroscopic circulation&rdquo around any closed curve $dlc$. To use Stokes' theorem, we just need to find a surface whose boundary is $dlc$. If the domain of $dlvf$ is simply connected, even if it has a hole that doesn't go all the way through the domain, we can always find such a surface. The surface can just go around any hole that's in the middle of the domain. With such a surface along which $curl dlvf=vc<0>$, we can use Stokes' theorem to show that the circulation $dlint$ around $dlc$ is zero. Since we can do this for any closed curve, we can conclude that $dlvf$ is conservative.

The flexiblity we have in three dimensions to find multiple surfaces whose boundary is a given closed curve is illustrated in this applet that we use to introduce Stokes' theorem.

Applet loading

Macroscopic and microscopic circulation in three dimensions. The relationship between the macroscopic circulation of a vector field $dlvf$ around a curve (red boundary of surface) and the microscopic circulation of $dlvf$ (illustrated by small green circles) along a surface in three dimensions must hold for any surface whose boundary is the curve. No matter which surface you choose (change by dragging the green point on the top slider), the total microscopic circulation of $dlvf$ along the surface must equal the circulation of $dlvf$ around the curve. (We assume that the vector field $dlvf$ is defined everywhere on the surface.) You can change the curve to a more complicated shape by dragging the blue point on the bottom slider, and the relationship between the macroscopic and total microscopic circulation still holds. The surface is oriented by the shown normal vector (moveable cyan arrow on surface), and the curve is oriented by the red arrow.

Of course, if the region $dlv$ is not simply connected, but has a hole going all the way through it, then $curl dlvf = vc<0>$ is not a sufficient condition for path-independence. In this case, if $dlc$ is a curve that goes around the hole, then we cannot find a surface that stays inside that domain whose boundary is $dlc$. Without such a surface, we cannot use Stokes' theorem to conclude that the circulation around $dlc$ is zero.


Conservative vector field question

Hey guys, got a multi-var calc exam coming up. Need your help with something. I wanna show that a certain vector field is conservative. say F=(P,Q,R). (derivatives are partial) set df/dx=P then f=integral(p)+h1(y) + h2(z) + h3(y)h4(z)? then take partials for y,z and try and work out the hi , i=1,2,3,4?? seems like the right idea but i can't get it to work. is there a condition i can use like dP/dy=dQ/dx in the 2-d case? or is it just "guesswork"? thanks in advance

Supposer F is a vector field on some domain E. Nous disons que F is conservative if there is some scalar function F (called a potential) that has partial derivatives on E and such that F = grad(F). The following implications hold:

F is conservative if and only if F has path-independent line integrals for paths entirely within E.

F is conservative if and only if the line integral of F along any loop entirely within E est 0.

Si F is conservative on E, then curl(F) = 0 au E.

If curl(F) = 0 au E et E is simply connected, then F is conservative on E.

Note the extra condition on E in the last implication. This condition is necessary. Le champ vectoriel F = (-y/r, x/r), where r = x 2 + y 2 has zero curl on the domain E = R 2 <(0,0)>(the punctured plane, which is not simply connected), but F is not conservative. (Why? The line integral of F on a loop around the origin is not 0.)

However, note that if curl(F) = 0 et E is not simply connected, this does not mean that F is not conservative. For instance, just let F be any vector field that is conservative on R 2 , and then restrict its domain to some non-simply-connected region. Le champ vectoriel F is still conservative: restricting its domain has not changed that. For a less trivial example, consider F = (2x/r, 2y/r), whose natural domain is the punctured plane, which is not simply connected. Mais F is conservative on this domain since F = grad(ln(x 2 + y 2 )).

Finally, note that sometimes by restricting the domain a vector field devient conservative. For instance, again consider F = (-y/r, x/r), but where the domain is the plane minus the non-negative X-axe. Puis F = grad(θ) on this domain, where θ is the usual polar angle. In the first quadrant, θ = arctan(y/x), and this function can be suitably extended to the plane minus the non-negative X-axe.


4 réponses 4

Air speed/direction on a weather map) is a very intuitive one. There's also other fluid velocity (and flux) vector fields in various chemE, mechE, and nukeE applications.

I personally think the air speed is most intuitive as something where you really need speed and direction (i.e. a vector, not a scalar) and it's something people encounter in daily life. Electrostatics is a little mysterious as I always find electrical things more "hidden" then mechanics or fluids. But the nice thing is you can actually do demonstrations of magnetic fields using iron filings on the overhead projector (showing the hidden field).

My concern a little about the two force fields, you listed is that many familiar two point calculations can be done, rather more conveniently, using scalars to solve for forces, potential energy change etc. I.e. it's not clear why we need to invoke vector calculus. Granted, it is possible to complicate the problems. But, I just would think to list some situations like air flow, where it's very clear the situation is more complex.

[Edit: for Steve. It's an interesting question, but I would be pretty hesitant about showing such an example to beginning general calc 3 students. After all, most econ undergrads don't even have a calc 3 requirement, sometimes taking "business calculus" rather than even a normal calc 1/2 sequence. Note: it's very important to differentiate between the requirements of research level econ and typical undergrad work. This in contrast to say engineering or physics, which are fairly mathematical even at the BS level.]